Страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

580. Известно, что в некотором классе без двоек учатся не менее 95,5 % и не более 96,5 % учеников. Какое наименьшее количество учеников может быть в этом классе?

Пусть $N$ — общее количество учеников в классе, а $K$ — количество учеников, которые учатся без двоек. $N$ и $K$ — целые положительные числа.

Согласно условию задачи, доля учеников без двоек находится в диапазоне от 95,5 % до 96,5 %. Запишем это в виде двойного неравенства: $$95,5 \le \frac{K}{N} \times 100 \le 96,5$$ Разделим все части неравенства на 100, чтобы работать с долями: $$0,955 \le \frac{K}{N} \le 0,965$$

Пусть $M$ — количество учеников, у которых есть двойки. Тогда $M = N - K$. Поскольку процент учеников без двоек меньше 100%, то в классе есть хотя бы один ученик с двойкой, следовательно, $M$ — целое число и $M \ge 1$.

Выразим долю $\frac{K}{N}$ через $M$: $$\frac{K}{N} = \frac{N - M}{N} = 1 - \frac{M}{N}$$ Подставим это выражение в наше неравенство: $$0,955 \le 1 - \frac{M}{N} \le 0,965$$ Вычтем 1 из всех частей неравенства: $$0,955 - 1 \le -\frac{M}{N} \le 0,965 - 1$$ $$-0,045 \le -\frac{M}{N} \le -0,035$$ Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные: $$0,035 \le \frac{M}{N} \le 0,045$$

Теперь нам нужно найти наименьшее целое число $N$, для которого существует целое число $M \ge 1$, удовлетворяющее этому неравенству.

Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $$0,035 = \frac{35}{1000} = \frac{7}{200}$$ $$0,045 = \frac{45}{1000} = \frac{9}{200}$$ Неравенство принимает вид: $$\frac{7}{200} \le \frac{M}{N} \le \frac{9}{200}$$

Выразим $N$ из этого неравенства. Так как $M$ и $N$ положительны, мы можем преобразовать его к виду: $$\frac{200M}{9} \le N \le \frac{200M}{7}$$

Мы ищем наименьшее возможное значение $N$. Будем перебирать возможные значения $M$, начиная с наименьшего, $M=1$.

При $M=1$: $$\frac{200 \times 1}{9} \le N \le \frac{200 \times 1}{7}$$ $$22,22... \le N \le 28,57...$$ Поскольку $N$ должно быть целым числом, возможные значения для $N$ в этом случае: 23, 24, 25, 26, 27, 28. Наименьшее из них — 23.

При $M=2$: $$\frac{200 \times 2}{9} \le N \le \frac{200 \times 2}{7}$$ $$44,44... \le N \le 57,14...$$ Наименьшее целое значение $N$ в этом случае — 45.

При $M=3$: $$\frac{200 \times 3}{9} \le N \le \frac{200 \times 3}{7}$$ $$66,66... \le N \le 85,71...$$ Наименьшее целое значение $N$ в этом случае — 67.

Очевидно, что с увеличением $M$ минимально возможное значение $N$ также увеличивается. Следовательно, наименьшее количество учеников в классе будет найдено при наименьшем возможном значении $M$, то есть при $M=1$.

Проверим найденное значение $N=23$. Если в классе 23 ученика и у одного из них есть двойка ($M=1$), то без двоек учатся $K = 23 - 1 = 22$ ученика. Процент учеников без двоек составляет: $$\frac{22}{23} \times 100\% \approx 95,65\%$$ Это значение удовлетворяет условию $95,5\% \le 95,65\% \le 96,5\%$.

Ответ: Наименьшее количество учеников, которое может быть в этом классе, — 23.