Страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

527. Внесите множитель под знак корня:

1) $7\sqrt{2};$

2) $3\sqrt{13};$

3) $-2\sqrt{17};$

4) $-10\sqrt{14};$

5) $5\sqrt{8};$

6) $6\sqrt{a};$

7) $\frac{1}{4}\sqrt{32};$

8) $-\frac{2}{3}\sqrt{54};$

9) $\frac{1}{8}\sqrt{128a};$

10) $-0,3\sqrt{10b};$

11) $3\sqrt{\frac{1}{3}};$

12) $\frac{2}{9}\sqrt{\frac{27}{28}}.$

1) Чтобы внести положительный множитель 7 под знак квадратного корня, необходимо возвести его в квадрат и умножить на подкоренное выражение. $7\sqrt{2} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{98}$.
Ответ: $\sqrt{98}$.

2) Вносим положительный множитель 3 под знак корня, возведя его в квадрат. $3\sqrt{13} = \sqrt{3^2 \cdot 13} = \sqrt{9 \cdot 13} = \sqrt{117}$.
Ответ: $\sqrt{117}$.

3) При внесении отрицательного множителя -2 под знак корня, знак "минус" остается перед корнем, а под корень вносится положительное число 2, возведенное в квадрат. $-2\sqrt{17} = -\sqrt{2^2 \cdot 17} = -\sqrt{4 \cdot 17} = -\sqrt{68}$.
Ответ: $-\sqrt{68}$.

4) Знак "минус" оставляем перед корнем, а множитель 10 вносим под знак корня, возведя его в квадрат. $-10\sqrt{14} = -\sqrt{10^2 \cdot 14} = -\sqrt{100 \cdot 14} = -\sqrt{1400}$.
Ответ: $-\sqrt{1400}$.

5) Вносим положительный множитель 5 под знак корня, возведя его в квадрат. $5\sqrt{8} = \sqrt{5^2 \cdot 8} = \sqrt{25 \cdot 8} = \sqrt{200}$.
Ответ: $\sqrt{200}$.

6) Положительный множитель 6 вносим под знак корня, возведя его в квадрат. Подразумевается, что выражение имеет смысл, то есть $a \ge 0$. $6\sqrt{a} = \sqrt{6^2 \cdot a} = \sqrt{36a}$.
Ответ: $\sqrt{36a}$.

7) Чтобы внести дробный множитель $\frac{1}{4}$ под знак корня, возводим его в квадрат. $\frac{1}{4}\sqrt{32} = \sqrt{(\frac{1}{4})^2 \cdot 32} = \sqrt{\frac{1}{16} \cdot 32} = \sqrt{\frac{32}{16}} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

8) Знак "минус" оставляем перед корнем, а дробный множитель $\frac{2}{3}$ вносим под корень, возведя его в квадрат. $-\frac{2}{3}\sqrt{54} = -\sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 54} = -\sqrt{\frac{4}{9} \cdot 54} = -\sqrt{4 \cdot \frac{54}{9}} = -\sqrt{4 \cdot 6} = -\sqrt{24}$.
Ответ: $-\sqrt{24}$.

9) Вносим множитель $\frac{1}{8}$ под знак корня. Подразумевается, что $a \ge 0$. $\frac{1}{8}\sqrt{128a} = \sqrt{(\frac{1}{8})^2 \cdot 128a} = \sqrt{\frac{1}{64} \cdot 128a} = \sqrt{\frac{128}{64}a} = \sqrt{2a}$.
Ответ: $\sqrt{2a}$.

10) Знак "минус" остается перед корнем. Множитель 0,3 вносим под корень. Подразумевается, что $b \ge 0$. $-0,3\sqrt{10b} = -\sqrt{(0,3)^2 \cdot 10b} = -\sqrt{0,09 \cdot 10b} = -\sqrt{0,9b}$.
Ответ: $-\sqrt{0,9b}$.

11) Вносим положительный множитель 3 под знак корня. $3\sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{3^2 \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{9 \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{9}{3}} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

12) Вносим дробный множитель $\frac{2}{9}$ под знак корня, возведя его в квадрат, и выполняем сокращение. $\frac{2}{9}\sqrt{\frac{27}{28}} = \sqrt{(\frac{2}{9})^2 \cdot \frac{27}{28}} = \sqrt{\frac{4}{81} \cdot \frac{27}{28}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 27}{81 \cdot 28}} = \sqrt{\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 7}} = \sqrt{\frac{1}{21}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{21}}$.

528. Внесите множитель под знак корня:

1) $2\sqrt{6};$

2) $9\sqrt{2};$

3) $-11\sqrt{3};$

4) $12\sqrt{b};$

5) $-7\sqrt{3c};$

6) $-10\sqrt{0,7m};$

7) $8\sqrt{\frac{n}{8}};$

8) $-\frac{1}{3}\sqrt{18p}.$

1) Чтобы внести положительный множитель под знак корня, его нужно возвести в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Множитель $2$ является положительным.
$2\sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}$.
Ответ: $\sqrt{24}$.

2) Множитель $9$ является положительным. Возводим его в квадрат и вносим под знак корня, умножая на подкоренное выражение.
$9\sqrt{2} = \sqrt{9^2 \cdot 2} = \sqrt{81 \cdot 2} = \sqrt{162}$.
Ответ: $\sqrt{162}$.

3) Если множитель перед корнем отрицательный, то знак "минус" остается перед корнем, а под корень вносится положительное значение множителя, возведенное в квадрат.
$-11\sqrt{3} = -\sqrt{11^2 \cdot 3} = -\sqrt{121 \cdot 3} = -\sqrt{363}$.
Ответ: $-\sqrt{363}$.

4) Множитель $12$ является положительным. Возводим его в квадрат и умножаем на подкоренное выражение $b$. Данное выражение имеет смысл при $b \ge 0$.
$12\sqrt{b} = \sqrt{12^2 \cdot b} = \sqrt{144b}$.
Ответ: $\sqrt{144b}$.

5) Множитель $-7$ является отрицательным. Оставляем знак "минус" перед корнем, а $7$ вносим под корень, возведя в квадрат. Данное выражение имеет смысл при $3c \ge 0$, то есть $c \ge 0$.
$-7\sqrt{3c} = -\sqrt{7^2 \cdot 3c} = -\sqrt{49 \cdot 3c} = -\sqrt{147c}$.
Ответ: $-\sqrt{147c}$.

6) Множитель $-10$ является отрицательным. Знак "минус" остается перед корнем, а $10$ вносится под корень в виде квадрата. Данное выражение имеет смысл при $0,7m \ge 0$, то есть $m \ge 0$.
$-10\sqrt{0,7m} = -\sqrt{10^2 \cdot 0,7m} = -\sqrt{100 \cdot 0,7m} = -\sqrt{70m}$.
Ответ: $-\sqrt{70m}$.

7) Множитель $8$ является положительным. Возводим его в квадрат и вносим под знак корня. Данное выражение имеет смысл при $\frac{n}{8} \ge 0$, то есть $n \ge 0$.
$8\sqrt{\frac{n}{8}} = \sqrt{8^2 \cdot \frac{n}{8}} = \sqrt{64 \cdot \frac{n}{8}} = \sqrt{\frac{64n}{8}} = \sqrt{8n}$.
Ответ: $\sqrt{8n}$.

8) Множитель $-\frac{1}{3}$ является отрицательным. Знак "минус" остается перед корнем, а дробь $\frac{1}{3}$ вносится под корень, возведенная в квадрат. Данное выражение имеет смысл при $18p \ge 0$, то есть $p \ge 0$.
$-\frac{1}{3}\sqrt{18p} = -\sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 18p} = -\sqrt{\frac{1}{9} \cdot 18p} = -\sqrt{\frac{18p}{9}} = -\sqrt{2p}$.
Ответ: $-\sqrt{2p}$.

529. Упростите выражение:

1) $4\sqrt{a} + 3\sqrt{a} - 5\sqrt{a}$;

2) $6\sqrt{b} + 2\sqrt{b} - 8\sqrt{b}$;

3) $5\sqrt{c} + 3\sqrt{d} - \sqrt{c} + 3\sqrt{d}$;

4) $\sqrt{5} + 7\sqrt{5} - 4\sqrt{5}$.

1) Чтобы упростить выражение $4\sqrt{a} + 3\sqrt{a} - 5\sqrt{a}$, необходимо привести подобные слагаемые. Подобными здесь являются все члены, так как они содержат одинаковый радикал $\sqrt{a}$. Мы можем вынести $\sqrt{a}$ за скобки и выполнить действия с коэффициентами.

$4\sqrt{a} + 3\sqrt{a} - 5\sqrt{a} = (4 + 3 - 5)\sqrt{a}$

Вычисляем выражение в скобках:

$4 + 3 - 5 = 7 - 5 = 2$

Таким образом, итоговое выражение равно $2\sqrt{a}$.

Ответ: $2\sqrt{a}$

2) В выражении $6\sqrt{b} + 2\sqrt{b} - 8\sqrt{b}$ все слагаемые также являются подобными, так как содержат общий множитель $\sqrt{b}$. Вынесем его за скобки.

$6\sqrt{b} + 2\sqrt{b} - 8\sqrt{b} = (6 + 2 - 8)\sqrt{b}$

Вычислим сумму коэффициентов в скобках:

$6 + 2 - 8 = 8 - 8 = 0$

Умножая на ноль, получаем ноль: $0 \cdot \sqrt{b} = 0$.

Ответ: $0$

3) В выражении $5\sqrt{c} + 3\sqrt{d} - \sqrt{c} + 3\sqrt{d}$ есть две группы подобных слагаемых: с множителем $\sqrt{c}$ и с множителем $\sqrt{d}$. Сгруппируем их и приведем подобные.

$(5\sqrt{c} - \sqrt{c}) + (3\sqrt{d} + 3\sqrt{d})$

Упростим каждую группу отдельно. Для первой группы вынесем за скобки $\sqrt{c}$. Следует помнить, что $-\sqrt{c}$ — это то же самое, что $-1\cdot\sqrt{c}$.

$(5 - 1)\sqrt{c} = 4\sqrt{c}$

Для второй группы вынесем за скобки $\sqrt{d}$.

$(3 + 3)\sqrt{d} = 6\sqrt{d}$

Теперь сложим полученные результаты.

Ответ: $4\sqrt{c} + 6\sqrt{d}$

4) Выражение $\sqrt{5} + 7\sqrt{5} - 4\sqrt{5}$ состоит из подобных слагаемых, общим множителем которых является $\sqrt{5}$. Коэффициент у первого слагаемого $\sqrt{5}$ равен 1.

$\sqrt{5} + 7\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = (1 + 7 - 4)\sqrt{5}$

Выполним вычисления в скобках:

$1 + 7 - 4 = 8 - 4 = 4$

В результате получаем $4\sqrt{5}$.

Ответ: $4\sqrt{5}$

530. Упростите выражение:

1) $3\sqrt{a} - 2\sqrt{a}$;

2) $\sqrt{c} + 10\sqrt{c} - 14\sqrt{c}$;

3) $9\sqrt{6} - 2\sqrt{3} + 8\sqrt{3} - 3\sqrt{6}$.

1) Чтобы упростить выражение $3\sqrt{a} - 2\sqrt{a}$, мы работаем с ним как с подобными слагаемыми. Общим множителем здесь является $\sqrt{a}$. Мы выносим его за скобки и выполняем вычитание коэффициентов, стоящих перед корнем.

$3\sqrt{a} - 2\sqrt{a} = (3 - 2)\sqrt{a} = 1 \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a}$.

Ответ: $\sqrt{a}$

2) В выражении $\sqrt{c} + 10\sqrt{c} - 14\sqrt{c}$ все слагаемые являются подобными, так как содержат общий множитель $\sqrt{c}$. Коэффициент первого слагаемого $\sqrt{c}$ равен 1. Сгруппируем коэффициенты и выполним действия с ними.

$\sqrt{c} + 10\sqrt{c} - 14\sqrt{c} = (1 + 10 - 14)\sqrt{c} = (11 - 14)\sqrt{c} = -3\sqrt{c}$.

Ответ: $-3\sqrt{c}$

3) В выражении $9\sqrt{6} - 2\sqrt{3} + 8\sqrt{3} - 3\sqrt{6}$ есть две группы подобных слагаемых: слагаемые, содержащие $\sqrt{6}$, и слагаемые, содержащие $\sqrt{3}$. Сгруппируем их и упростим каждую группу отдельно.

Сначала сгруппируем подобные слагаемые: $(9\sqrt{6} - 3\sqrt{6}) + (-2\sqrt{3} + 8\sqrt{3})$.

Теперь упростим каждую группу, выполнив действия с их коэффициентами:

$9\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = (9 - 3)\sqrt{6} = 6\sqrt{6}$.

$-2\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = (-2 + 8)\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

Сложим полученные результаты: $6\sqrt{6} + 6\sqrt{3}$. Дальнейшее упрощение невозможно, так как подкоренные выражения различны.

Ответ: $6\sqrt{6} + 6\sqrt{3}$

531. Упростите выражение:

1) $ \sqrt{9a} + \sqrt{25a} - \sqrt{49a} $;

2) $ \sqrt{64b} - \frac{1}{6}\sqrt{36b} $;

3) $ 2\sqrt{0.04c} - 0.3\sqrt{16c} + \frac{1}{3}\sqrt{0.81c} $;

4) $ 0.4\sqrt{100m} + 15\sqrt{\frac{4}{9}m} - 1.2\sqrt{2.25m} $.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{9a} + \sqrt{25a} - \sqrt{49a}$ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня из произведения: $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (при $x \ge 0, y \ge 0$). В данном случае, переменная $a$ должна быть неотрицательной, то есть $a \ge 0$.
Вынесем множители из-под знака корня для каждого слагаемого:
$\sqrt{9a} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a} = 3\sqrt{a}$
$\sqrt{25a} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a} = 5\sqrt{a}$
$\sqrt{49a} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{a} = 7\sqrt{a}$
Подставим полученные выражения в исходное:
$3\sqrt{a} + 5\sqrt{a} - 7\sqrt{a}$
Теперь приведем подобные слагаемые, сложив коэффициенты при $\sqrt{a}$:
$(3 + 5 - 7)\sqrt{a} = (8 - 7)\sqrt{a} = 1\sqrt{a} = \sqrt{a}$
Ответ: $\sqrt{a}$

2) Упростим выражение $\sqrt{64b} - \frac{1}{6}\sqrt{36b}$. Подразумевается, что $b \ge 0$.
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{64b} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{b} = 8\sqrt{b}$
$\frac{1}{6}\sqrt{36b} = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{36} \cdot \sqrt{b} = \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot \sqrt{b} = \sqrt{b}$
Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$8\sqrt{b} - \sqrt{b}$
Приведем подобные слагаемые:
$(8 - 1)\sqrt{b} = 7\sqrt{b}$
Ответ: $7\sqrt{b}$

3) Упростим выражение $2\sqrt{0,04c} - 0,3\sqrt{16c} + \frac{1}{3}\sqrt{0,81c}$. Подразумевается, что $c \ge 0$.
Вынесем числовые множители из-под знака корня для каждого члена выражения:
$2\sqrt{0,04c} = 2 \cdot \sqrt{0,04} \cdot \sqrt{c} = 2 \cdot 0,2 \cdot \sqrt{c} = 0,4\sqrt{c}$
$0,3\sqrt{16c} = 0,3 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{c} = 0,3 \cdot 4 \cdot \sqrt{c} = 1,2\sqrt{c}$
$\frac{1}{3}\sqrt{0,81c} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{0,81} \cdot \sqrt{c} = \frac{1}{3} \cdot 0,9 \cdot \sqrt{c} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{10} \cdot \sqrt{c} = \frac{3}{10}\sqrt{c} = 0,3\sqrt{c}$
Теперь подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение и приведем подобные:
$0,4\sqrt{c} - 1,2\sqrt{c} + 0,3\sqrt{c} = (0,4 - 1,2 + 0,3)\sqrt{c} = (0,7 - 1,2)\sqrt{c} = -0,5\sqrt{c}$
Ответ: $-0,5\sqrt{c}$

4) Упростим выражение $0,4\sqrt{100m} + 15\sqrt{\frac{4}{9}m} - 1,2\sqrt{2,25m}$. Подразумевается, что $m \ge 0$.
Вынесем множители из-под знака корня для каждого слагаемого:
$0,4\sqrt{100m} = 0,4 \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{m} = 0,4 \cdot 10 \cdot \sqrt{m} = 4\sqrt{m}$
$15\sqrt{\frac{4}{9}m} = 15 \cdot \sqrt{\frac{4}{9}} \cdot \sqrt{m} = 15 \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} \cdot \sqrt{m} = 15 \cdot \frac{2}{3} \cdot \sqrt{m} = 5 \cdot 2 \cdot \sqrt{m} = 10\sqrt{m}$
$1,2\sqrt{2,25m} = 1,2 \cdot \sqrt{2,25} \cdot \sqrt{m} = 1,2 \cdot 1,5 \cdot \sqrt{m} = 1,8\sqrt{m}$
Подставим полученные значения в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:
$4\sqrt{m} + 10\sqrt{m} - 1,8\sqrt{m} = (4 + 10 - 1,8)\sqrt{m} = (14 - 1,8)\sqrt{m} = 12,2\sqrt{m}$
Ответ: $12,2\sqrt{m}$

532. Упростите выражение:

1) $2\sqrt{4x} + 6\sqrt{16x} - \sqrt{625x};$

2) $3\sqrt{0,09y} - 0,6\sqrt{144y} + \frac{18}{11}\sqrt{\frac{121}{36}y}.$

1) $2\sqrt{4x} + 6\sqrt{16x} - \sqrt{625x}$

Для упрощения данного выражения необходимо вынести множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Используем свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ (при $a \ge 0, b \ge 0$). Заметим, что для существования корней необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $x \ge 0$.

Упростим каждое слагаемое по отдельности:

$2\sqrt{4x} = 2\sqrt{4}\sqrt{x} = 2 \cdot 2\sqrt{x} = 4\sqrt{x}$

$6\sqrt{16x} = 6\sqrt{16}\sqrt{x} = 6 \cdot 4\sqrt{x} = 24\sqrt{x}$

$\sqrt{625x} = \sqrt{625}\sqrt{x} = 25\sqrt{x}$

Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в выражение и приведем подобные члены:

$4\sqrt{x} + 24\sqrt{x} - 25\sqrt{x} = (4 + 24 - 25)\sqrt{x} = 3\sqrt{x}$

Ответ: $3\sqrt{x}$

2) $3\sqrt{0,09y} - 0,6\sqrt{144y} + \frac{18}{11}\sqrt{\frac{121}{36}y}$

Аналогично первому пункту, упростим каждое слагаемое, вынося множители из-под знака корня. Подразумевается, что $y \ge 0$. Используем свойства $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ и $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Упростим каждое слагаемое:

$3\sqrt{0,09y} = 3\sqrt{0,09}\sqrt{y} = 3 \cdot 0,3\sqrt{y} = 0,9\sqrt{y}$

$-0,6\sqrt{144y} = -0,6\sqrt{144}\sqrt{y} = -0,6 \cdot 12\sqrt{y} = -7,2\sqrt{y}$

$\frac{18}{11}\sqrt{\frac{121}{36}y} = \frac{18}{11}\sqrt{\frac{121}{36}}\sqrt{y} = \frac{18}{11} \cdot \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{36}}\sqrt{y} = \frac{18}{11} \cdot \frac{11}{6}\sqrt{y} = \frac{18}{6}\sqrt{y} = 3\sqrt{y}$

Подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение и выполним действия с подобными членами:

$0,9\sqrt{y} - 7,2\sqrt{y} + 3\sqrt{y} = (0,9 - 7,2 + 3)\sqrt{y} = (3,9 - 7,2)\sqrt{y} = -3,3\sqrt{y}$

Ответ: $-3,3\sqrt{y}$

533. Упростите выражение:

1) $8\sqrt{2} - \sqrt{32}$;

2) $6\sqrt{3} - \sqrt{27}$;

3) $\sqrt{96} - 3\sqrt{6}$;

4) $2\sqrt{500} - 8\sqrt{5}$;

5) $5\sqrt{7} - \sqrt{700} - 0,5\sqrt{28}$;

6) $2\sqrt{20} - \frac{1}{3}\sqrt{45} - 0,6\sqrt{125}$.

1) Чтобы упростить выражение $8\sqrt{2} - \sqrt{32}$, необходимо привести корни к одному основанию. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в члене $\sqrt{32}$.
Разложим подкоренное выражение 32 на множители так, чтобы один из них был полным квадратом: $32 = 16 \cdot 2$.
Тогда $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
$8\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = (8-4)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Ответ: $4\sqrt{2}$.

2) Упростим выражение $6\sqrt{3} - \sqrt{27}$.
Аналогично предыдущему пункту, вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{27}$.
Разложим число 27 на множители: $27 = 9 \cdot 3$.
Тогда $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Подставим это значение в выражение:
$6\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (6-3)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Ответ: $3\sqrt{3}$.

3) Упростим выражение $\sqrt{96} - 3\sqrt{6}$.
Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{96}$.
Разложим число 96 на множители: $96 = 16 \cdot 6$.
Тогда $\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$.
Подставим это значение в выражение:
$4\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = (4-3)\sqrt{6} = \sqrt{6}$.
Ответ: $\sqrt{6}$.

4) Упростим выражение $2\sqrt{500} - 8\sqrt{5}$.
Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{500}$.
Разложим число 500 на множители: $500 = 100 \cdot 5$.
Тогда $\sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{5} = 10\sqrt{5}$.
Подставим это значение в выражение:
$2 \cdot 10\sqrt{5} - 8\sqrt{5} = 20\sqrt{5} - 8\sqrt{5} = (20-8)\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$.
Ответ: $12\sqrt{5}$.

5) Упростим выражение $5\sqrt{7} - \sqrt{700} - 0,5\sqrt{28}$.
Приведем все члены к виду $k\sqrt{7}$.
Упростим $\sqrt{700}$: $700 = 100 \cdot 7$, поэтому $\sqrt{700} = \sqrt{100 \cdot 7} = 10\sqrt{7}$.
Упростим $\sqrt{28}$: $28 = 4 \cdot 7$, поэтому $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
Теперь подставим упрощенные корни в исходное выражение:
$5\sqrt{7} - 10\sqrt{7} - 0,5 \cdot (2\sqrt{7}) = 5\sqrt{7} - 10\sqrt{7} - 1\sqrt{7}$.
Сложим коэффициенты при $\sqrt{7}$:
$(5 - 10 - 1)\sqrt{7} = -6\sqrt{7}$.
Ответ: $-6\sqrt{7}$.

6) Упростим выражение $2\sqrt{20} - \frac{1}{3}\sqrt{45} - 0,6\sqrt{125}$.
Приведем все члены к общему корню, вынося множители из-под знака корня. Заметим, что все подкоренные выражения делятся на 5.
Упростим $\sqrt{20}$: $20 = 4 \cdot 5$, поэтому $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Упростим $\sqrt{45}$: $45 = 9 \cdot 5$, поэтому $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.
Упростим $\sqrt{125}$: $125 = 25 \cdot 5$, поэтому $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$.
Теперь подставим упрощенные корни в исходное выражение:
$2 \cdot (2\sqrt{5}) - \frac{1}{3} \cdot (3\sqrt{5}) - 0,6 \cdot (5\sqrt{5}) = 4\sqrt{5} - 1\sqrt{5} - 3\sqrt{5}$.
Сложим коэффициенты при $\sqrt{5}$:
$(4 - 1 - 3)\sqrt{5} = 0\sqrt{5} = 0$.
Ответ: $0$.

534. Рациональным или иррациональным является значение выражения:

1) $\sqrt{48 - 6 - 4\sqrt{3}};$

2) $\sqrt{162 - 9\sqrt{2} + \sqrt{27}}?$

Чтобы определить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным, необходимо его упростить. Запись $\sqrt{48 - 6 - 4\sqrt{3}}$ скорее всего содержит опечатку, и имелось в виду выражение $\sqrt{48} - 6 - 4\sqrt{3}$, где корень относится только к числу 48. Решим задачу в этой, более вероятной, постановке.

Упростим $\sqrt{48}$, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

Подставим это значение в выражение:

$4\sqrt{3} - 6 - 4\sqrt{3}$

Приведем подобные слагаемые:

$(4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) - 6 = 0 - 6 = -6$

Результатом является целое число -6. Все целые числа являются рациональными (например, $-6 = \frac{-6}{1}$).

Ответ: рациональным.

Чтобы определить, является ли значение выражения $\sqrt{162} - 9\sqrt{2} + \sqrt{27}$ рациональным или иррациональным, упростим его.

Упростим каждый корень, вынося множитель из-под знака корня.

$\sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$9\sqrt{2} - 9\sqrt{2} + 3\sqrt{3}$

Приведем подобные слагаемые:

$(9\sqrt{2} - 9\sqrt{2}) + 3\sqrt{3} = 0 + 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

Значение выражения равно $3\sqrt{3}$. Поскольку $\sqrt{3}$ — иррациональное число, его произведение на ненулевое рациональное число (3) также является иррациональным.

Ответ: иррациональным.

535. Упростите выражение:

1) $4\sqrt{700} - 27\sqrt{7};$

2) $\sqrt{75} - 6\sqrt{3};$

3) $2\sqrt{50} - 8\sqrt{2};$

4) $5\sqrt{12} - 7\sqrt{3};$

5) $3\sqrt{72} - 4\sqrt{2} + 2\sqrt{98};$

6) $\frac{1}{3}\sqrt{108} + \sqrt{363} - \frac{2}{9}\sqrt{243}.$

1) Для упрощения выражения $4\sqrt{700} - 27\sqrt{7}$ необходимо привести корни к одному виду. Для этого упростим $\sqrt{700}$, вынеся множитель из-под знака корня.
Разложим подкоренное выражение 700 на множители так, чтобы один из них был наибольшим возможным полным квадратом: $700 = 100 \cdot 7$.
Тогда $\sqrt{700} = \sqrt{100 \cdot 7} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{7} = 10\sqrt{7}$.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$4\sqrt{700} - 27\sqrt{7} = 4 \cdot (10\sqrt{7}) - 27\sqrt{7} = 40\sqrt{7} - 27\sqrt{7}$.
Выполним вычитание, так как у нас есть подобные слагаемые:
$(40 - 27)\sqrt{7} = 13\sqrt{7}$.
Ответ: $13\sqrt{7}$.

2) Упростим выражение $\sqrt{75} - 6\sqrt{3}$.
Вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $\sqrt{75}$. Разложим 75 на множители: $75 = 25 \cdot 3$.
Следовательно, $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Подставим полученное значение в выражение:
$5\sqrt{3} - 6\sqrt{3}$.
Выполним вычитание подобных слагаемых:
$(5 - 6)\sqrt{3} = -1\sqrt{3} = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$.

3) Упростим выражение $2\sqrt{50} - 8\sqrt{2}$.
Упростим $\sqrt{50}$, разложив 50 на множители: $50 = 25 \cdot 2$.
Тогда $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
Подставим в исходное выражение:
$2 \cdot (5\sqrt{2}) - 8\sqrt{2} = 10\sqrt{2} - 8\sqrt{2}$.
Выполним вычитание:
$(10 - 8)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Ответ: $2\sqrt{2}$.

4) Упростим выражение $5\sqrt{12} - 7\sqrt{3}$.
Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{12}$. Разложим 12 на множители: $12 = 4 \cdot 3$.
Тогда $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Подставим в исходное выражение:
$5 \cdot (2\sqrt{3}) - 7\sqrt{3} = 10\sqrt{3} - 7\sqrt{3}$.
Выполним вычитание:
$(10 - 7)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Ответ: $3\sqrt{3}$.

5) Упростим выражение $3\sqrt{72} - 4\sqrt{2} + 2\sqrt{98}$.
Для начала упростим корни $\sqrt{72}$ и $\sqrt{98}$, вынеся множители из-под знака корня, чтобы привести все слагаемые к общему виду.
Разложим 72 на множители: $72 = 36 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.
Разложим 98 на множители: $98 = 49 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$.
Подставим упрощенные корни в исходное выражение:
$3 \cdot (6\sqrt{2}) - 4\sqrt{2} + 2 \cdot (7\sqrt{2}) = 18\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 14\sqrt{2}$.
Теперь все слагаемые содержат $\sqrt{2}$, поэтому мы можем их сложить и вычесть:
$(18 - 4 + 14)\sqrt{2} = (14 + 14)\sqrt{2} = 28\sqrt{2}$.
Ответ: $28\sqrt{2}$.

6) Упростим выражение $\frac{1}{3}\sqrt{108} + \sqrt{363} - \frac{2}{9}\sqrt{243}$.
Упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня. Заметим, что все подкоренные выражения делятся на 3.
Для $\sqrt{108}$: $108 = 36 \cdot 3$, значит $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$.
Для $\sqrt{363}$: $363 = 121 \cdot 3$, значит $\sqrt{363} = \sqrt{121 \cdot 3} = 11\sqrt{3}$.
Для $\sqrt{243}$: $243 = 81 \cdot 3$, значит $\sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3}$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{1}{3} \cdot (6\sqrt{3}) + 11\sqrt{3} - \frac{2}{9} \cdot (9\sqrt{3})$.
Выполним умножение коэффициентов:
$\frac{6}{3}\sqrt{3} + 11\sqrt{3} - \frac{2 \cdot 9}{9}\sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 11\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$.
Сложим и вычтем слагаемые:
$(2 + 11 - 2)\sqrt{3} = 11\sqrt{3}$.
Ответ: $11\sqrt{3}$.