Страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

503. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$;

2) $\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}}$;

3) $\frac{\sqrt{6,3}}{\sqrt{0,7}}$;

4) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{242}}$;

5) $\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

1) Для нахождения значения выражения $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$ используем свойство частного квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$. Применив это свойство, получаем: $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}}$. Выполняем деление под корнем: $48 \div 3 = 16$. Таким образом, выражение упрощается до $\sqrt{16}$, что равно 4.
Ответ: 4

2) Аналогично предыдущему примеру, используем свойство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ для выражения $\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}}$. Получаем: $\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{150}{6}}$. Выполняем деление: $150 \div 6 = 25$. Значит, мы ищем $\sqrt{25}$, что равно 5.
Ответ: 5

3) Для выражения $\frac{\sqrt{6,3}}{\sqrt{0,7}}$ снова применяем свойство частного корней: $\frac{\sqrt{6,3}}{\sqrt{0,7}} = \sqrt{\frac{6,3}{0,7}}$. Чтобы избавиться от десятичных дробей в числителе и знаменателе, умножим их на 10: $\frac{6,3 \cdot 10}{0,7 \cdot 10} = \frac{63}{7} = 9$. Таким образом, выражение сводится к $\sqrt{9}$, что равно 3.
Ответ: 3

4) Чтобы найти значение выражения $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{242}}$, запишем его в виде корня из дроби: $\sqrt{\frac{98}{242}}$. Сократим дробь под корнем. Числитель и знаменатель делятся на 2, так как $98 = 2 \cdot 49$ и $242 = 2 \cdot 121$. Тогда $\frac{98}{242} = \frac{49}{121}$. Получаем $\sqrt{\frac{49}{121}}$. Используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, находим: $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{121}} = \frac{7}{11}$.
Ответ: $\frac{7}{11}$

5) В выражении $\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ используем свойства умножения и деления корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a}{c}}$. Объединим всё под один знак корня: $\sqrt{\frac{6 \cdot 2}{3}}$. Выполним операции под корнем: $\sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4}$. Корень из 4 равен 2.
Ответ: 2

504. При каких значениях $a$ выполняется равенство:

1) $\sqrt{a^2} = a;$

2) $\sqrt{a^2} = -a?$

1)

Рассмотрим равенство $\sqrt{a^2} = a$.
По определению арифметического квадратного корня, выражение $\sqrt{a^2}$ всегда является неотрицательным числом. Более того, существует тождество, согласно которому квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа: $\sqrt{a^2} = |a|$.
Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде: $|a| = a$.
Исходя из определения модуля числа, равенство $|a| = a$ выполняется в том и только в том случае, когда число $a$ является неотрицательным.
Следовательно, $a \ge 0$.

Ответ: $a \ge 0$.

2)

Рассмотрим равенство $\sqrt{a^2} = -a$.
Аналогично первому пункту, заменим выражение $\sqrt{a^2}$ на равное ему выражение $|a|$.
Получим следующее равенство: $|a| = -a$.
Исходя из определения модуля числа, равенство $|a| = -a$ выполняется в том и только в том случае, когда число $a$ является неположительным (то есть отрицательным или равным нулю).
Следовательно, $a \le 0$.

Ответ: $a \le 0$.

505. При каких значениях a и b выполняется равенство:

1) $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$;

2) $\sqrt{ab} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$;

3) $\sqrt{-ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-b}$?

1) $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Данное равенство является основным свойством арифметического квадратного корня. Для того чтобы все выражения в равенстве были определены, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными.

Рассмотрим правую часть равенства: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

Выражение $\sqrt{a}$ определено при $a \geq 0$.
Выражение $\sqrt{b}$ определено при $b \geq 0$.
Следовательно, правая часть равенства определена, если одновременно выполняются условия $a \geq 0$ и $b \geq 0$.

Теперь рассмотрим левую часть при этих условиях: $\sqrt{ab}$.
Если $a \geq 0$ и $b \geq 0$, то их произведение $ab \geq 0$. Значит, левая часть также определена.

Таким образом, равенство выполняется при $a \geq 0$ и $b \geq 0$.

Ответ: $a \geq 0$, $b \geq 0$.

2) $\sqrt{ab} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$

Для того чтобы все выражения в равенстве были определены, необходимо, чтобы все подкоренные выражения были неотрицательными.

Рассмотрим правую часть равенства: $\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$.

Выражение $\sqrt{-a}$ определено при $-a \geq 0$, что эквивалентно $a \leq 0$.
Выражение $\sqrt{-b}$ определено при $-b \geq 0$, что эквивалентно $b \leq 0$.
Следовательно, правая часть равенства определена, если одновременно выполняются условия $a \leq 0$ и $b \leq 0$.

Рассмотрим левую часть при этих условиях: $\sqrt{ab}$.
Если $a \leq 0$ и $b \leq 0$, то их произведение $ab \geq 0$. Значит, левая часть также определена.

Проверим, выполняется ли равенство при $a \leq 0$ и $b \leq 0$. Пусть $a = -x$ и $b = -y$, где $x \geq 0$ и $y \geq 0$.
Левая часть: $\sqrt{ab} = \sqrt{(-x)(-y)} = \sqrt{xy}$.
Правая часть: $\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} = \sqrt{-(-x)} \cdot \sqrt{-(-y)} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$.
Поскольку $x \geq 0$ и $y \geq 0$, то $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}$. Равенство выполняется.

Ответ: $a \leq 0$, $b \leq 0$.

3) $\sqrt{-ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-b}$

Для того чтобы все выражения в равенстве были определены, необходимо, чтобы все подкоренные выражения были неотрицательными.

Рассмотрим правую часть равенства: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{-b}$.

Выражение $\sqrt{a}$ определено при $a \geq 0$.
Выражение $\sqrt{-b}$ определено при $-b \geq 0$, что эквивалентно $b \leq 0$.
Следовательно, правая часть равенства определена, если одновременно выполняются условия $a \geq 0$ и $b \leq 0$.

Рассмотрим левую часть при этих условиях: $\sqrt{-ab}$.
Если $a \geq 0$ и $b \leq 0$, то их произведение $ab \leq 0$. Тогда $-ab \geq 0$. Значит, левая часть также определена.

Проверим, выполняется ли равенство при $a \geq 0$ и $b \leq 0$. Пусть $b = -y$, где $y \geq 0$.
Левая часть: $\sqrt{-ab} = \sqrt{-a(-y)} = \sqrt{ay}$.
Правая часть: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{-b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-(-y)} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{y}$.
Поскольку $a \geq 0$ и $y \geq 0$, то $\sqrt{ay} = \sqrt{a}\sqrt{y}$. Равенство выполняется.

Ответ: $a \geq 0$, $b \leq 0$.

506. Найдите значение выражения, представив предварительно подкоренное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел:

1) $\sqrt{18 \cdot 32};$

2) $\sqrt{8 \cdot 98};$

3) $\sqrt{3,6 \cdot 14,4};$

4) $\sqrt{75 \cdot 48};$

5) $\sqrt{288 \cdot 50};$

6) $\sqrt{4,5 \cdot 72};$

7) $\sqrt{2,7 \cdot 1,2};$

8) $\sqrt{80 \cdot 45};$

9) $\sqrt{33 \cdot 297}.$

1) $\sqrt{18 \cdot 32}$

Представим множители подкоренного выражения в виде произведения, выделяя квадраты рациональных чисел:

$18 = 9 \cdot 2 = 3^2 \cdot 2$

$32 = 16 \cdot 2 = 4^2 \cdot 2$

Тогда подкоренное выражение можно записать как произведение квадратов:

$18 \cdot 32 = (3^2 \cdot 2) \cdot (4^2 \cdot 2) = 3^2 \cdot 4^2 \cdot (2 \cdot 2) = 3^2 \cdot 4^2 \cdot 2^2$

Теперь найдем значение выражения:

$\sqrt{18 \cdot 32} = \sqrt{3^2 \cdot 4^2 \cdot 2^2} = \sqrt{(3 \cdot 4 \cdot 2)^2} = \sqrt{24^2} = 24$

Ответ: 24

2) $\sqrt{8 \cdot 98}$

Представим множители подкоренного выражения в виде произведения, выделяя квадраты рациональных чисел:

$8 = 4 \cdot 2 = 2^2 \cdot 2$

$98 = 49 \cdot 2 = 7^2 \cdot 2$

Тогда подкоренное выражение можно записать как произведение квадратов:

$8 \cdot 98 = (2^2 \cdot 2) \cdot (7^2 \cdot 2) = 2^2 \cdot 7^2 \cdot (2 \cdot 2) = 2^2 \cdot 7^2 \cdot 2^2$

Теперь найдем значение выражения:

$\sqrt{8 \cdot 98} = \sqrt{2^2 \cdot 7^2 \cdot 2^2} = \sqrt{(2 \cdot 7 \cdot 2)^2} = \sqrt{28^2} = 28$

Ответ: 28

3) $\sqrt{3.6 \cdot 14.4}$

Представим множители подкоренного выражения в виде произведения, выделяя квадраты рациональных чисел:

$3.6 = 36 \cdot 0.1 = 6^2 \cdot 0.1$

$14.4 = 144 \cdot 0.1 = 12^2 \cdot 0.1$

Тогда подкоренное выражение можно записать как произведение квадратов:

$3.6 \cdot 14.4 = (6^2 \cdot 0.1) \cdot (12^2 \cdot 0.1) = 6^2 \cdot 12^2 \cdot 0.1^2$

Теперь найдем значение выражения:

$\sqrt{3.6 \cdot 14.4} = \sqrt{6^2 \cdot 12^2 \cdot 0.1^2} = \sqrt{(6 \cdot 12 \cdot 0.1)^2} = \sqrt{7.2^2} = 7.2$

Ответ: 7.2

4) $\sqrt{75 \cdot 48}$

Представим множители подкоренного выражения в виде произведения, выделяя квадраты рациональных чисел:

$75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$

$48 = 16 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3$

Тогда подкоренное выражение можно записать как произведение квадратов:

$75 \cdot 48 = (5^2 \cdot 3) \cdot (4^2 \cdot 3) = 5^2 \cdot 4^2 \cdot 3^2$

Теперь найдем значение выражения:

$\sqrt{75 \cdot 48} = \sqrt{5^2 \cdot 4^2 \cdot 3^2} = \sqrt{(5 \cdot 4 \cdot 3)^2} = \sqrt{60^2} = 60$

Ответ: 60

5) $\sqrt{288 \cdot 50}$

Представим множители подкоренного выражения в виде произведения, выделяя квадраты рациональных чисел:

$288 = 144 \cdot 2 = 12^2 \cdot 2$

$50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2$

Тогда подкоренное выражение можно записать как произведение квадратов:

$288 \cdot 50 = (12^2 \cdot 2) \cdot (5^2 \cdot 2) = 12^2 \cdot 5^2 \cdot 2^2$

Теперь найдем значение выражения:

$\sqrt{288 \cdot 50} = \sqrt{12^2 \cdot 5^2 \cdot 2^2} = \sqrt{(12 \cdot 5 \cdot 2)^2} = \sqrt{120^2} = 120$

Ответ: 120

6) $\sqrt{4.5 \cdot 72}$

Представим множители подкоренного выражения в виде произведения, выделяя квадраты рациональных чисел:

$4.5 = \frac{9}{2} = \frac{3^2}{2}$

$72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2$

Тогда подкоренное выражение можно записать как произведение квадратов:

$4.5 \cdot 72 = \frac{3^2}{2} \cdot (6^2 \cdot 2) = 3^2 \cdot 6^2$

Теперь найдем значение выражения:

$\sqrt{4.5 \cdot 72} = \sqrt{3^2 \cdot 6^2} = \sqrt{(3 \cdot 6)^2} = \sqrt{18^2} = 18$

Ответ: 18

7) $\sqrt{2.7 \cdot 1.2}$

Представим множители подкоренного выражения в виде произведения, выделяя квадраты рациональных чисел:

$2.7 = 9 \cdot 0.3 = 3^2 \cdot 0.3$

$1.2 = 4 \cdot 0.3 = 2^2 \cdot 0.3$

Тогда подкоренное выражение можно записать как произведение квадратов:

$2.7 \cdot 1.2 = (3^2 \cdot 0.3) \cdot (2^2 \cdot 0.3) = 3^2 \cdot 2^2 \cdot 0.3^2$

Теперь найдем значение выражения:

$\sqrt{2.7 \cdot 1.2} = \sqrt{3^2 \cdot 2^2 \cdot 0.3^2} = \sqrt{(3 \cdot 2 \cdot 0.3)^2} = \sqrt{1.8^2} = 1.8$

Ответ: 1.8

8) $\sqrt{80 \cdot 45}$

Представим множители подкоренного выражения в виде произведения, выделяя квадраты рациональных чисел:

$80 = 16 \cdot 5 = 4^2 \cdot 5$

$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

Тогда подкоренное выражение можно записать как произведение квадратов:

$80 \cdot 45 = (4^2 \cdot 5) \cdot (3^2 \cdot 5) = 4^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$

Теперь найдем значение выражения:

$\sqrt{80 \cdot 45} = \sqrt{4^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = \sqrt{(4 \cdot 3 \cdot 5)^2} = \sqrt{60^2} = 60$

Ответ: 60

9) $\sqrt{33 \cdot 297}$

Представим подкоренное выражение в виде произведения квадратов. Заметим, что $297$ делится на $33$: $297 = 9 \cdot 33 = 3^2 \cdot 33$.

Тогда подкоренное выражение можно записать так:

$33 \cdot 297 = 33 \cdot (3^2 \cdot 33) = 33^2 \cdot 3^2$

Теперь найдем значение выражения:

$\sqrt{33 \cdot 297} = \sqrt{33^2 \cdot 3^2} = \sqrt{(33 \cdot 3)^2} = \sqrt{99^2} = 99$

Ответ: 99

507. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{18 \cdot 200};$

2) $\sqrt{3,6 \cdot 0,4};$

3) $\sqrt{14,4 \cdot 0,9};$

4) $\sqrt{13 \cdot 52};$

5) $\sqrt{12,5 \cdot 32};$

6) $\sqrt{108 \cdot 27}.$

1) Для нахождения значения выражения $\sqrt{18 \cdot 200}$ воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и разложим числа под корнем на множители так, чтобы получить полные квадраты.
$\sqrt{18 \cdot 200} = \sqrt{(9 \cdot 2) \cdot (100 \cdot 2)} = \sqrt{9 \cdot 100 \cdot 4}$.
Теперь извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{9} \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{4} = 3 \cdot 10 \cdot 2 = 60$.
Ответ: 60.

2) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{3,6 \cdot 0,4}$, сначала выполним умножение чисел под знаком корня:
$3,6 \cdot 0,4 = 1,44$.
Теперь извлечем квадратный корень из полученного результата:
$\sqrt{1,44} = 1,2$.
Ответ: 1,2.

3) Для вычисления $\sqrt{14,4 \cdot 0,9}$ представим десятичные дроби в виде произведения целого числа и разрядной единицы, чтобы выделить полные квадраты:
$\sqrt{14,4 \cdot 0,9} = \sqrt{(144 \cdot 0,1) \cdot (9 \cdot 0,1)} = \sqrt{144 \cdot 9 \cdot 0,01}$.
Применяя свойство корня из произведения, получаем:
$\sqrt{144} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{0,01} = 12 \cdot 3 \cdot 0,1 = 3,6$.
Ответ: 3,6.

4) Для нахождения значения $\sqrt{13 \cdot 52}$ разложим число 52 на множители. Заметим, что $52 = 4 \cdot 13$.
Подставим это разложение в исходное выражение:
$\sqrt{13 \cdot (4 \cdot 13)} = \sqrt{13^2 \cdot 4}$.
Теперь извлечем корень из каждого множителя по отдельности:
$\sqrt{13^2} \cdot \sqrt{4} = 13 \cdot 2 = 26$.
Ответ: 26.

5) Чтобы найти значение $\sqrt{12,5 \cdot 32}$, преобразуем произведение под корнем. Умножим первый множитель на 2, а второй разделим на 2. Произведение при этом не изменится:
$12,5 \cdot 32 = (12,5 \cdot 2) \cdot (32 \div 2) = 25 \cdot 16$.
Тогда выражение принимает вид:
$\sqrt{25 \cdot 16} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{16} = 5 \cdot 4 = 20$.
Ответ: 20.

6) Для вычисления $\sqrt{108 \cdot 27}$ разложим число 108 на множители. Мы видим, что $108 = 4 \cdot 27$.
Подставим полученное разложение в выражение:
$\sqrt{(4 \cdot 27) \cdot 27} = \sqrt{4 \cdot 27^2}$.
Извлекая корень из каждого множителя, получаем:
$\sqrt{4} \cdot \sqrt{27^2} = 2 \cdot 27 = 54$.
Ответ: 54.

508. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{41^2 - 40^2}$;

2) $\sqrt{145^2 - 144^2}$;

3) $\sqrt{8,5^2 - 7,5^2}$;

4) $\sqrt{21,8^2 - 18,2^2}$;

5) $\sqrt{\frac{155^2 - 134^2}{84}}$;

6) $\sqrt{\frac{139^2 - 86^2}{98,5^2 - 45,5^2}}$.

1) Для вычисления значения выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$\sqrt{41^2 - 40^2} = \sqrt{(41 - 40)(41 + 40)} = \sqrt{1 \cdot 81} = \sqrt{81} = 9$.
Ответ: 9

2) Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$\sqrt{145^2 - 144^2} = \sqrt{(145 - 144)(145 + 144)} = \sqrt{1 \cdot 289} = \sqrt{289} = 17$.
Ответ: 17

3) Используем ту же формулу разности квадратов.
$\sqrt{8,5^2 - 7,5^2} = \sqrt{(8,5 - 7,5)(8,5 + 7,5)} = \sqrt{1 \cdot 16} = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: 4

4) Снова применяем формулу разности квадратов.
$\sqrt{21,8^2 - 18,2^2} = \sqrt{(21,8 - 18,2)(21,8 + 18,2)} = \sqrt{3,6 \cdot 40} = \sqrt{144} = 12$.
Ответ: 12

5) Сначала упростим выражение в числителе, используя формулу разности квадратов, а затем выполним деление.
$\sqrt{\frac{155^2 - 134^2}{84}} = \sqrt{\frac{(155 - 134)(155 + 134)}{84}} = \sqrt{\frac{21 \cdot 289}{84}} = \sqrt{\frac{289}{4}} = \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}} = \frac{17}{2} = 8,5$.
Ответ: 8,5

6) Упростим числитель и знаменатель дроби под корнем, используя формулу разности квадратов.
$\sqrt{\frac{139^2 - 86^2}{98,5^2 - 45,5^2}} = \sqrt{\frac{(139 - 86)(139 + 86)}{(98,5 - 45,5)(98,5 + 45,5)}} = \sqrt{\frac{53 \cdot 225}{53 \cdot 144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1,25$.
Ответ: 1,25

509. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{6,8^2 - 3,2^2}$;

2) $\sqrt{98,5^2 - 97,5^2}$;

3) $\sqrt{\frac{98}{228^2 - 164^2}}$.

1) Для решения данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$\sqrt{6,8^2 - 3,2^2} = \sqrt{(6,8 - 3,2)(6,8 + 3,2)}$
Вычислим значения в скобках:
$6,8 - 3,2 = 3,6$
$6,8 + 3,2 = 10$
Подставим полученные значения обратно в выражение:
$\sqrt{3,6 \cdot 10} = \sqrt{36} = 6$
Ответ: 6

2) Аналогично первому пункту, применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$\sqrt{98,5^2 - 97,5^2} = \sqrt{(98,5 - 97,5)(98,5 + 97,5)}$
Вычислим значения в скобках:
$98,5 - 97,5 = 1$
$98,5 + 97,5 = 196$
Подставим полученные значения в выражение:
$\sqrt{1 \cdot 196} = \sqrt{196} = 14$
Ответ: 14

3) Сначала упростим знаменатель дроби, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$228^2 - 164^2 = (228 - 164)(228 + 164) = 64 \cdot 392$
Теперь подставим упрощенный знаменатель в исходное выражение:
$\sqrt{\frac{98}{228^2 - 164^2}} = \sqrt{\frac{98}{64 \cdot 392}}$
Сократим дробь в подкоренном выражении. Заметим, что $392 = 4 \cdot 98$.
$\sqrt{\frac{98}{64 \cdot 4 \cdot 98}} = \sqrt{\frac{1}{64 \cdot 4}}$
Теперь извлечем квадратный корень из числителя и знаменателя:
$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{64 \cdot 4}} = \frac{1}{\sqrt{64} \cdot \sqrt{4}} = \frac{1}{8 \cdot 2} = \frac{1}{16}$
Ответ: $\frac{1}{16}$

510. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:

1) $\sqrt{b^2}$;

2) $-0,4\sqrt{c^2}$;

3) $\sqrt{a^6}$;

4) $\sqrt{m^8}$.

1)

Для того чтобы заменить выражение $\sqrt{b^2}$ тождественно равным, не содержащим знака корня, воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: для любого действительного числа $x$ справедливо равенство $\sqrt{x^2} = |x|$. Применяя это свойство к данному выражению, где в роли $x$ выступает $b$, получаем: $\sqrt{b^2} = |b|$. Выражение $|b|$ (модуль $b$) является искомым, так как оно тождественно равно $\sqrt{b^2}$ и не содержит знака корня.

Ответ: $|b|$.

2)

Рассмотрим выражение $-0,4\sqrt{c^2}$. Оно состоит из числового множителя $-0,4$ и радикала $\sqrt{c^2}$. Сначала упростим корень, используя тождество $\sqrt{x^2} = |x|$. В данном случае $\sqrt{c^2} = |c|$. Теперь подставим упрощенный корень обратно в выражение: $-0,4\sqrt{c^2} = -0,4 \cdot |c| = -0,4|c|$. Полученное выражение $-0,4|c|$ тождественно равно исходному и не содержит знака корня.

Ответ: $-0,4|c|$.

3)

Рассмотрим выражение $\sqrt{a^6}$. Чтобы избавиться от знака корня, представим подкоренное выражение $a^6$ в виде квадрата другого выражения. Используя свойство степеней $(x^n)^m = x^{nm}$, мы можем записать $a^6$ как $(a^3)^2$. Теперь подставим это под знак корня: $\sqrt{a^6} = \sqrt{(a^3)^2}$. Применим тождество $\sqrt{x^2} = |x|$, где в роли $x$ выступает $a^3$: $\sqrt{(a^3)^2} = |a^3|$. Поскольку показатель степени 3 является нечетным числом, знак выражения $a^3$ совпадает со знаком $a$. Это значит, что $a^3$ может быть как положительным, так и отрицательным. Следовательно, знак модуля необходимо сохранить.

Ответ: $|a^3|$.

4)

Рассмотрим выражение $\sqrt{m^8}$. Аналогично предыдущему пункту, представим подкоренное выражение $m^8$ в виде полного квадрата. Используя свойство степеней, запишем $m^8$ как $(m^4)^2$. Подставим это в исходное выражение: $\sqrt{m^8} = \sqrt{(m^4)^2}$. Применим тождество $\sqrt{x^2} = |x|$ для $x = m^4$: $\sqrt{(m^4)^2} = |m^4|$. Теперь проанализируем выражение под знаком модуля. Показатель степени 4 является четным числом. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным. То есть, $m^4 \ge 0$ для любого значения $m$. Поскольку выражение $m^4$ всегда неотрицательно, его модуль равен самому выражению: $|m^4| = m^4$. Таким образом, итоговое выражение не содержит ни знака корня, ни знака модуля.

Ответ: $m^4$.

511. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:

1) $1.2\sqrt{x^2}$;

2) $\sqrt{y^4}$;

3) $\sqrt{n^{10}}$.

1) Чтобы упростить выражение $1,2\sqrt{x^2}$, воспользуемся свойством арифметического квадратного корня, согласно которому $\sqrt{a^2} = |a|$ для любого действительного числа $a$.

Применяя это свойство к нашему выражению, где $a=x$, получаем:

$1,2\sqrt{x^2} = 1,2 \cdot |x| = 1,2|x|$

Выражение $1,2|x|$ является тождественно равным исходному и не содержит знака корня. Знак модуля необходим, так как $x$ может быть отрицательным числом, а результат извлечения квадратного корня всегда неотрицателен.

Ответ: $1,2|x|$

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{y^4}$.

Представим подкоренное выражение $y^4$ в виде квадрата другого выражения: $y^4 = (y^2)^2$.

Тогда выражение можно переписать как $\sqrt{y^4} = \sqrt{(y^2)^2}$.

Используя то же свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, где в данном случае $a = y^2$, получим:

$\sqrt{(y^2)^2} = |y^2|$

Поскольку квадрат любого действительного числа $y$ всегда является неотрицательным числом ($y^2 \ge 0$), то модуль от этого выражения равен самому выражению: $|y^2| = y^2$.

Следовательно, $\sqrt{y^4} = y^2$.

Ответ: $y^2$

3) Упростим выражение $\sqrt{n^{10}}$.

Представим подкоренное выражение $n^{10}$ как квадрат: $n^{10} = (n^5)^2$.

Тогда $\sqrt{n^{10}} = \sqrt{(n^5)^2}$.

Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ при $a = n^5$, получаем:

$\sqrt{(n^5)^2} = |n^5|$

В этом случае мы не можем опустить знак модуля, так как знак выражения $n^5$ зависит от знака $n$. Если $n$ - отрицательное число, то $n^5$ также будет отрицательным. Если $n$ - неотрицательное число, то $n^5$ будет неотрицательным. Поэтому, чтобы равенство было тождественным для всех $n$, знак модуля необходимо сохранить.

Ответ: $|n^5|$

512. Упростите выражение:

1) $\sqrt{m^2}$, если $m > 0$;

2) $\sqrt{n^2}$, если $n < 0$;

3) $\sqrt{16p^2}$, если $p \ge 0$;

4) $\sqrt{0,36k^2}$, если $k \le 0$;

5) $\sqrt{c^{12}}$;

6) $\sqrt{0,25b^{14}}$, если $b \le 0$;

7) $\sqrt{81x^4y^2}$, если $y \ge 0$;

8) $\sqrt{0,01a^6b^{10}}$, если $a \le 0, b \ge 0$;

9) $-1,2x\sqrt{64x^{18}}$, если $x \le 0$;

10) $\sqrt{\frac{a^{12}b^{22}c^{36}}{a^4b^8c^{10}}}$, если $b < 0$;

11) $\frac{3,3a^4}{b^3}\sqrt{\frac{b^{24}}{121a^{26}}}$, если $a < 0$;

12) $-0,5m^5\sqrt{1,96m^6n^8}$, если $m \le 0$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{m^2}$ используется свойство квадратного корня, согласно которому $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, получаем $\sqrt{m^2} = |m|$. По условию задачи $m > 0$, а модуль положительного числа равен самому числу. Следовательно, $|m| = m$.
Ответ: $m$.

2) Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, имеем $\sqrt{n^2} = |n|$. По условию $n < 0$. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, то есть $|n| = -n$.
Ответ: $-n$.

3) Сначала преобразуем подкоренное выражение: $\sqrt{16p^2} = \sqrt{(4p)^2}$. Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем $|4p|$. Так как по условию $p \ge 0$, выражение $4p$ является неотрицательным ($4p \ge 0$). Модуль неотрицательного числа равен самому числу, поэтому $|4p| = 4p$.
Ответ: $4p$.

4) Преобразуем подкоренное выражение: $\sqrt{0,36k^2} = \sqrt{(0,6k)^2}$. Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем $|0,6k|$. По условию $k \le 0$, следовательно, выражение $0,6k$ является неположительным ($0,6k \le 0$). Модуль неположительного числа равен противоположному ему числу, то есть $|0,6k| = -0,6k$.
Ответ: $-0,6k$.

5) Представим подкоренное выражение как квадрат другого выражения: $\sqrt{c^{12}} = \sqrt{(c^6)^2}$. Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем $|c^6|$. Поскольку показатель степени 6 является четным числом, выражение $c^6$ всегда неотрицательно ($c^6 \ge 0$) для любого действительного $c$. Модуль неотрицательного числа равен самому числу, поэтому $|c^6| = c^6$.
Ответ: $c^6$.

6) Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $\sqrt{0,25b^{14}} = \sqrt{(0,5b^7)^2}$. Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, что дает нам $|0,5b^7|$. По условию $b \le 0$. Так как показатель степени 7 нечетный, то $b^7 \le 0$. Следовательно, выражение $0,5b^7$ является неположительным. Модуль неположительного числа равен противоположному ему числу: $|0,5b^7| = -0,5b^7$.
Ответ: $-0,5b^7$.

7) Преобразуем подкоренное выражение: $\sqrt{81x^4y^2} = \sqrt{(9x^2y)^2}$. Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем $|9x^2y|$. Проанализируем знак выражения в модуле. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$). По условию $y \ge 0$. Произведение неотрицательных множителей также неотрицательно, то есть $9x^2y \ge 0$. Таким образом, $|9x^2y| = 9x^2y$.
Ответ: $9x^2y$.

8) Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $\sqrt{0,01a^6b^{10}} = \sqrt{(0,1a^3b^5)^2}$. Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем $|0,1a^3b^5|$. Определим знак выражения в модуле. По условию $a \le 0$, следовательно, $a^3 \le 0$ (нечетная степень). По условию $b \ge 0$, следовательно, $b^5 \ge 0$ (нечетная степень). Произведение неположительного и неотрицательного числа является неположительным: $a^3b^5 \le 0$, а значит и $0,1a^3b^5 \le 0$. Модуль неположительного выражения равен противоположному выражению: $|0,1a^3b^5| = -0,1a^3b^5$.
Ответ: $-0,1a^3b^5$.

9) Упростим сначала корень: $\sqrt{64x^{18}} = \sqrt{(8x^9)^2} = |8x^9|$. По условию $x \le 0$. Так как степень 9 нечетная, то $x^9 \le 0$. Значит, выражение $8x^9$ неположительно. Модуль неположительного выражения равен ему противоположному: $|8x^9| = -8x^9$. Теперь подставим это в исходное выражение: $-1,2x \cdot \sqrt{64x^{18}} = -1,2x \cdot (-8x^9) = (-1,2 \cdot -8) \cdot (x \cdot x^9) = 9,6x^{10}$.
Ответ: $9,6x^{10}$.

10) Сначала упростим числитель: $\sqrt{a^{12}b^{22}c^{36}} = \sqrt{(a^6b^{11}c^{18})^2} = |a^6b^{11}c^{18}|$. Определим знак выражения под модулем. Так как степени 6 и 18 четные, $a^6 \ge 0$ и $c^{18} \ge 0$. По условию $b < 0$, а так как степень 11 нечетная, то $b^{11} < 0$. Произведение двух неотрицательных и одного отрицательного множителя является неположительным числом, поэтому $a^6b^{11}c^{18} \le 0$. Следовательно, $|a^6b^{11}c^{18}| = -a^6b^{11}c^{18}$. Подставим в дробь и упростим: $\frac{-a^6b^{11}c^{18}}{a^4b^8c^{10}} = -a^{6-4}b^{11-8}c^{18-10} = -a^2b^3c^8$.
Ответ: $-a^2b^3c^8$.

11) Упростим корень: $\sqrt{\frac{b^{24}}{121a^{26}}} = \sqrt{\left(\frac{b^{12}}{11a^{13}}\right)^2} = \left|\frac{b^{12}}{11a^{13}}\right|$. Определим знак дроби. Числитель $b^{12}$ положителен (так как $b \ne 0$). По условию $a < 0$, поэтому $a^{13} < 0$ (нечетная степень), и знаменатель $11a^{13}$ отрицателен. Дробь с положительным числителем и отрицательным знаменателем отрицательна. Значит, $\left|\frac{b^{12}}{11a^{13}}\right| = -\frac{b^{12}}{11a^{13}}$. Подставим в исходное выражение: $\frac{3,3a^4}{b^3} \cdot \left(-\frac{b^{12}}{11a^{13}}\right) = -\frac{3,3 \cdot a^4 \cdot b^{12}}{11 \cdot b^3 \cdot a^{13}} = -0,3 \cdot a^{4-13} \cdot b^{12-3} = -0,3a^{-9}b^9 = -0,3\frac{b^9}{a^9}$.
Ответ: $-0,3\frac{b^9}{a^9}$.

12) Упростим корень: $\sqrt{1,96m^6n^8} = \sqrt{(1,4m^3n^4)^2} = |1,4m^3n^4|$. Определим знак выражения в модуле. По условию $m \le 0$, следовательно $m^3 \le 0$ (нечетная степень). Выражение $n^4 \ge 0$ (четная степень). Произведение неположительного и неотрицательного множителей является неположительным, то есть $1,4m^3n^4 \le 0$. Модуль этого выражения равен ему противоположному: $|1,4m^3n^4| = -1,4m^3n^4$. Подставим в исходное выражение: $-0,5m^5 \cdot (-1,4m^3n^4) = (-0,5 \cdot -1,4) \cdot (m^5 \cdot m^3) \cdot n^4 = 0,7m^{8}n^4$.
Ответ: $0,7m^8n^4$.