Номер 512, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Упражнения - номер 512, страница 131.

Условие.

512. Упростите выражение:

1) $\sqrt{m^2}$, если $m > 0$;

2) $\sqrt{n^2}$, если $n < 0$;

3) $\sqrt{16p^2}$, если $p \ge 0$;

4) $\sqrt{0,36k^2}$, если $k \le 0$;

5) $\sqrt{c^{12}}$;

6) $\sqrt{0,25b^{14}}$, если $b \le 0$;

7) $\sqrt{81x^4y^2}$, если $y \ge 0$;

8) $\sqrt{0,01a^6b^{10}}$, если $a \le 0, b \ge 0$;

9) $-1,2x\sqrt{64x^{18}}$, если $x \le 0$;

10) $\sqrt{\frac{a^{12}b^{22}c^{36}}{a^4b^8c^{10}}}$, если $b < 0$;

11) $\frac{3,3a^4}{b^3}\sqrt{\frac{b^{24}}{121a^{26}}}$, если $a < 0$;

12) $-0,5m^5\sqrt{1,96m^6n^8}$, если $m \le 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{m^2}$ используется свойство квадратного корня, согласно которому $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, получаем $\sqrt{m^2} = |m|$. По условию задачи $m > 0$, а модуль положительного числа равен самому числу. Следовательно, $|m| = m$.
Ответ: $m$.

2) Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, имеем $\sqrt{n^2} = |n|$. По условию $n < 0$. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, то есть $|n| = -n$.
Ответ: $-n$.

3) Сначала преобразуем подкоренное выражение: $\sqrt{16p^2} = \sqrt{(4p)^2}$. Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем $|4p|$. Так как по условию $p \ge 0$, выражение $4p$ является неотрицательным ($4p \ge 0$). Модуль неотрицательного числа равен самому числу, поэтому $|4p| = 4p$.
Ответ: $4p$.

4) Преобразуем подкоренное выражение: $\sqrt{0,36k^2} = \sqrt{(0,6k)^2}$. Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем $|0,6k|$. По условию $k \le 0$, следовательно, выражение $0,6k$ является неположительным ($0,6k \le 0$). Модуль неположительного числа равен противоположному ему числу, то есть $|0,6k| = -0,6k$.
Ответ: $-0,6k$.

5) Представим подкоренное выражение как квадрат другого выражения: $\sqrt{c^{12}} = \sqrt{(c^6)^2}$. Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем $|c^6|$. Поскольку показатель степени 6 является четным числом, выражение $c^6$ всегда неотрицательно ($c^6 \ge 0$) для любого действительного $c$. Модуль неотрицательного числа равен самому числу, поэтому $|c^6| = c^6$.
Ответ: $c^6$.

6) Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $\sqrt{0,25b^{14}} = \sqrt{(0,5b^7)^2}$. Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, что дает нам $|0,5b^7|$. По условию $b \le 0$. Так как показатель степени 7 нечетный, то $b^7 \le 0$. Следовательно, выражение $0,5b^7$ является неположительным. Модуль неположительного числа равен противоположному ему числу: $|0,5b^7| = -0,5b^7$.
Ответ: $-0,5b^7$.

7) Преобразуем подкоренное выражение: $\sqrt{81x^4y^2} = \sqrt{(9x^2y)^2}$. Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем $|9x^2y|$. Проанализируем знак выражения в модуле. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$). По условию $y \ge 0$. Произведение неотрицательных множителей также неотрицательно, то есть $9x^2y \ge 0$. Таким образом, $|9x^2y| = 9x^2y$.
Ответ: $9x^2y$.

8) Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $\sqrt{0,01a^6b^{10}} = \sqrt{(0,1a^3b^5)^2}$. Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем $|0,1a^3b^5|$. Определим знак выражения в модуле. По условию $a \le 0$, следовательно, $a^3 \le 0$ (нечетная степень). По условию $b \ge 0$, следовательно, $b^5 \ge 0$ (нечетная степень). Произведение неположительного и неотрицательного числа является неположительным: $a^3b^5 \le 0$, а значит и $0,1a^3b^5 \le 0$. Модуль неположительного выражения равен противоположному выражению: $|0,1a^3b^5| = -0,1a^3b^5$.
Ответ: $-0,1a^3b^5$.

9) Упростим сначала корень: $\sqrt{64x^{18}} = \sqrt{(8x^9)^2} = |8x^9|$. По условию $x \le 0$. Так как степень 9 нечетная, то $x^9 \le 0$. Значит, выражение $8x^9$ неположительно. Модуль неположительного выражения равен ему противоположному: $|8x^9| = -8x^9$. Теперь подставим это в исходное выражение: $-1,2x \cdot \sqrt{64x^{18}} = -1,2x \cdot (-8x^9) = (-1,2 \cdot -8) \cdot (x \cdot x^9) = 9,6x^{10}$.
Ответ: $9,6x^{10}$.

10) Сначала упростим числитель: $\sqrt{a^{12}b^{22}c^{36}} = \sqrt{(a^6b^{11}c^{18})^2} = |a^6b^{11}c^{18}|$. Определим знак выражения под модулем. Так как степени 6 и 18 четные, $a^6 \ge 0$ и $c^{18} \ge 0$. По условию $b < 0$, а так как степень 11 нечетная, то $b^{11} < 0$. Произведение двух неотрицательных и одного отрицательного множителя является неположительным числом, поэтому $a^6b^{11}c^{18} \le 0$. Следовательно, $|a^6b^{11}c^{18}| = -a^6b^{11}c^{18}$. Подставим в дробь и упростим: $\frac{-a^6b^{11}c^{18}}{a^4b^8c^{10}} = -a^{6-4}b^{11-8}c^{18-10} = -a^2b^3c^8$.
Ответ: $-a^2b^3c^8$.

11) Упростим корень: $\sqrt{\frac{b^{24}}{121a^{26}}} = \sqrt{\left(\frac{b^{12}}{11a^{13}}\right)^2} = \left|\frac{b^{12}}{11a^{13}}\right|$. Определим знак дроби. Числитель $b^{12}$ положителен (так как $b \ne 0$). По условию $a < 0$, поэтому $a^{13} < 0$ (нечетная степень), и знаменатель $11a^{13}$ отрицателен. Дробь с положительным числителем и отрицательным знаменателем отрицательна. Значит, $\left|\frac{b^{12}}{11a^{13}}\right| = -\frac{b^{12}}{11a^{13}}$. Подставим в исходное выражение: $\frac{3,3a^4}{b^3} \cdot \left(-\frac{b^{12}}{11a^{13}}\right) = -\frac{3,3 \cdot a^4 \cdot b^{12}}{11 \cdot b^3 \cdot a^{13}} = -0,3 \cdot a^{4-13} \cdot b^{12-3} = -0,3a^{-9}b^9 = -0,3\frac{b^9}{a^9}$.
Ответ: $-0,3\frac{b^9}{a^9}$.

12) Упростим корень: $\sqrt{1,96m^6n^8} = \sqrt{(1,4m^3n^4)^2} = |1,4m^3n^4|$. Определим знак выражения в модуле. По условию $m \le 0$, следовательно $m^3 \le 0$ (нечетная степень). Выражение $n^4 \ge 0$ (четная степень). Произведение неположительного и неотрицательного множителей является неположительным, то есть $1,4m^3n^4 \le 0$. Модуль этого выражения равен ему противоположному: $|1,4m^3n^4| = -1,4m^3n^4$. Подставим в исходное выражение: $-0,5m^5 \cdot (-1,4m^3n^4) = (-0,5 \cdot -1,4) \cdot (m^5 \cdot m^3) \cdot n^4 = 0,7m^{8}n^4$.
Ответ: $0,7m^8n^4$.