Номер 516, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Упражнения - номер 516, страница 132.

Условие.

516. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x^2} - x$, если $x \le 0$;

2) $y = 2x + \sqrt{x^2}$;

3) $y = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$;

4) $y = \frac{x^2}{\sqrt{x^2}} + 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \sqrt{x^2} - x$, если $x \le 0$

Сначала упростим данное выражение. По определению, $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому $\sqrt{x^2} = |x|$. Функция принимает вид: $y = |x| - x$.

По условию задачи, мы рассматриваем функцию только для $x \le 0$. При $x \le 0$ модуль раскрывается следующим образом: $|x| = -x$.

Подставим это в нашу функцию: $y = (-x) - x = -2x$.

Таким образом, нам нужно построить график линейной функции $y = -2x$ на промежутке $(-\infty, 0]$. Графиком является луч. Для его построения найдем координаты двух точек:

• Если $x=0$, то $y = -2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x=-1$, то $y = -2 \cdot (-1) = 2$. Точка $(-1, 2)$.

Соединяем эти точки и получаем луч, начинающийся в точке $(0,0)$ и проходящий через точку $(-1, 2)$.

Ответ: График функции является лучом $y = -2x$ с началом в точке $(0, 0)$, расположенным во второй координатной четверти.

2) $y = 2x + \sqrt{x^2}$

Упростим выражение, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$. Функция принимает вид: $y = 2x + |x|$.

Это кусочно-заданная функция. Чтобы построить ее график, нужно раскрыть модуль, рассмотрев два случая.

• При $x \ge 0$: Модуль раскрывается как $|x| = x$. Функция становится: $y = 2x + x = 3x$. Это часть прямой линии $y=3x$, расположенная в первой координатной четверти, включая начало координат.
• При $x < 0$: Модуль раскрывается как $|x| = -x$. Функция становится: $y = 2x + (-x) = x$. Это часть прямой линии $y=x$, расположенная в третьей координатной четверти.

Итак, график состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0, 0)$:

• Луч $y=3x$ для $x \ge 0$. Проходит через точки $(0,0)$ и $(1,3)$.
• Луч $y=x$ для $x < 0$. Проходит через точки $(-1,-1)$ и $(-2,-2)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 0)$: луча $y=3x$ при $x \ge 0$ и луча $y=x$ при $x < 0$.

3) $y = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$

Найдем область определения функции. Выражение $\sqrt{x}$ определено только для неотрицательных значений $x$, то есть при $x \ge 0$.

На этой области определения ($x \ge 0$) мы можем упростить выражение: $y = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 = x$.

Следовательно, нам нужно построить график функции $y = x$ при условии $x \ge 0$. Это луч, который является биссектрисой первого координатного угла. Он начинается в точке $(0, 0)$ и проходит, например, через точку $(3, 3)$.

Ответ: График функции — это луч $y=x$, начинающийся в точке $(0,0)$ и расположенный в первой координатной четверти.

4) $y = \frac{x^2}{\sqrt{x^2}} + 3$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $\sqrt{x^2} \ne 0$. Это эквивалентно $x^2 \ne 0$, то есть $x \ne 0$.

Упростим выражение, используя $\sqrt{x^2} = |x|$: $y = \frac{x^2}{|x|} + 3$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• При $x > 0$: Модуль равен $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = \frac{x^2}{x} + 3 = x + 3$. Это луч, выходящий из точки $(0, 3)$ (сама точка не включается, т.к. $x \ne 0$) и идущий вправо-вверх.
• При $x < 0$: Модуль равен $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = \frac{x^2}{-x} + 3 = -x + 3$. Это луч, выходящий из точки $(0, 3)$ (точка не включается) и идущий влево-вверх.

График состоит из двух лучей, которые "стыкуются" в выколотой точке $(0, 3)$. Фактически, это график функции $y=|x|+3$ с выколотой точкой в вершине.

Ответ: График функции состоит из двух лучей: $y = x+3$ при $x>0$ и $y=-x+3$ при $x<0$. Точка $(0, 3)$ является выколотой (не принадлежит графику).