Номер 520, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Упражнения - номер 520, страница 132.

Условие.

520. Найдите значение выражения

$(\frac{a^2 - 5a}{a^2 - 10a + 25} + \frac{25}{a^2 - 25}) : \frac{125 - a^3}{5 + a}$

при $a = 4.5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения значения выражения сначала упростим его, выполняя действия по порядку, а затем подставим в полученное выражение значение переменной.

1. Выполним действие в скобках (сложение дробей).

Для этого сначала разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности и разность квадратов.

$a^2 - 10a + 25 = (a-5)^2$

$a^2 - 25 = (a-5)(a+5)$

Теперь преобразуем выражение в скобках. Сократим первую дробь и приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{a^2 - 5a}{a^2 - 10a + 25} + \frac{25}{a^2 - 25} = \frac{a(a-5)}{(a-5)^2} + \frac{25}{(a-5)(a+5)} = \frac{a}{a-5} + \frac{25}{(a-5)(a+5)}$

Приводим к общему знаменателю $(a-5)(a+5)$ и складываем:

$\frac{a(a+5)}{(a-5)(a+5)} + \frac{25}{(a-5)(a+5)} = \frac{a^2+5a+25}{(a-5)(a+5)}$

2. Выполним деление.

Разложим на множители числитель делителя, используя формулу разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$125 - a^3 = 5^3 - a^3 = (5-a)(25+5a+a^2)$

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$(\frac{a^2+5a+25}{(a-5)(a+5)}) : (\frac{(5-a)(a^2+5a+25)}{5+a}) = \frac{a^2+5a+25}{(a-5)(a+5)} \cdot \frac{5+a}{(5-a)(a^2+5a+25)}$

Сократим одинаковые множители $(a^2+5a+25)$ и $(a+5)$ (так как $a+5=5+a$). Получим:

$\frac{1}{a-5} \cdot \frac{1}{5-a}$

Поскольку $5-a = -(a-5)$, то выражение можно упростить дальше:

$\frac{1}{(a-5)(-(a-5))} = -\frac{1}{(a-5)^2}$

3. Подставим значение $a = 4.5$ в упрощенное выражение.

Подставляем $a = 4.5$:

$-\frac{1}{(4.5 - 5)^2} = -\frac{1}{(-0.5)^2} = -\frac{1}{0.25}$

Так как $0.25 = \frac{1}{4}$, то:

$-\frac{1}{0.25} = -\frac{1}{1/4} = -4$

Ответ: -4