Номер 522, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Упражнения - номер 522, страница 133.

Условие.

522. Число $a$ – чётное, а число $b$ – нечётное. Значением какого из данных выражений обязательно является чётное число:

1) $(a+b)b;$
2) $\frac{ab}{2};$
3) $\frac{a^2b}{2};$
4) $\frac{ab^2}{2}?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

По условию задачи, число $a$ — чётное, а число $b$ — нечётное. Это означает, что $a$ можно представить в виде $a = 2k$, а $b$ — в виде $b = 2m + 1$, где $k$ и $m$ — некоторые целые числа. Проанализируем каждое из предложенных выражений, чтобы определить, какое из них всегда будет чётным.

1) $(a + b)b$
Рассмотрим сумму в скобках. Сумма чётного ($a$) и нечётного ($b$) чисел всегда является нечётным числом. $a + b = \text{чётное} + \text{нечётное} = \text{нечётное}$.
Далее это нечётное число умножается на нечётное число $b$. Произведение двух нечётных чисел всегда является нечётным числом. $(a + b) \cdot b = \text{нечётное} \cdot \text{нечётное} = \text{нечётное}$.
Например, если взять $a=2$ и $b=3$, то $(2+3) \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15$ (нечётное).
Следовательно, значение этого выражения всегда нечётное.
Ответ: нечётное.

2) $\frac{ab}{2}$
Подставим в выражение $a = 2k$: $\frac{(2k)b}{2} = kb$.
Результат этого выражения зависит от чётности числа $k$. Число $b$ по условию нечётное.

• Если $k$ — нечётное (например, $k=1$, что соответствует $a=2$), то произведение $kb$ будет нечётным ($\text{нечётное} \cdot \text{нечётное} = \text{нечётное}$). Пример: $a=2, b=3 \implies \frac{2 \cdot 3}{2} = 3$ (нечётное).
• Если $k$ — чётное (например, $k=2$, что соответствует $a=4$), то произведение $kb$ будет чётным ($\text{чётное} \cdot \text{нечётное} = \text{чётное}$). Пример: $a=4, b=3 \implies \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ (чётное).

Поскольку результат может быть как чётным, так и нечётным, это выражение не является обязательно чётным.
Ответ: не всегда чётное.

3) $\frac{a^2b}{2}$
Подставим в выражение $a = 2k$: $\frac{(2k)^2 b}{2} = \frac{4k^2 b}{2} = 2k^2 b$.
Так как в итоговом выражении присутствует множитель 2, то результат всегда будет делиться на 2 без остатка, независимо от значений целых чисел $k$ и $b$. Любое целое число, умноженное на 2, является чётным.
Например, если $a=2$ и $b=3$, то $\frac{2^2 \cdot 3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ (чётное).
Значение этого выражения всегда является чётным.
Ответ: всегда чётное.

4) $\frac{ab^2}{2}$
Подставим в выражение $a = 2k$: $\frac{(2k)b^2}{2} = kb^2$.
Квадрат нечётного числа $b$ также является нечётным числом ($b^2 = \text{нечётное} \cdot \text{нечётное} = \text{нечётное}$).
Выражение сводится к $kb^2 = k \cdot (\text{нечётное})$. Как и в пункте 2, результат зависит от чётности $k$:

• Если $k$ — нечётное ($a=2$), то $kb^2$ будет нечётным. Пример: $a=2, b=3 \implies \frac{2 \cdot 3^2}{2} = 9$ (нечётное).
• Если $k$ — чётное ($a=4$), то $kb^2$ будет чётным. Пример: $a=4, b=3 \implies \frac{4 \cdot 3^2}{2} = 18$ (чётное).

Значение этого выражения не всегда является чётным.
Ответ: не всегда чётное.

Таким образом, единственное выражение, значение которого обязательно является чётным числом, это $\frac{a^2b}{2}$.