Номер 519, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 519, страница 132.

Условие.

519. Решите уравнение:

1) $ \sqrt{x^2} = x + 8; $

2) $ \sqrt{x^2} = 6x - 10. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt{x^2} = x + 8$

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Поэтому исходное уравнение можно переписать в виде: $|x| = x + 8$

Так как левая часть уравнения, модуль $|x|$, всегда неотрицательна ($|x| \ge 0$), то и правая часть должна быть неотрицательной. Это является областью допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x + 8 \ge 0$ $x \ge -8$

Теперь раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид: $x = x + 8$ $0 = 8$ Это неверное числовое равенство, следовательно, при $x \ge 0$ у уравнения нет решений.

Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид: $-x = x + 8$ Перенесем $x$ в левую часть: $-x - x = 8$ $-2x = 8$ $x = \frac{8}{-2}$ $x = -4$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -4$ условиям, при которых мы его нашли ($x < 0$) и общему ОДЗ ($x \ge -8$). Условие $x < 0$: $-4 < 0$ (верно). Условие ОДЗ $x \ge -8$: $-4 \ge -8$ (верно). Значит, $x = -4$ является решением уравнения.

Можно также выполнить проверку подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{(-4)^2} = -4 + 8$ $\sqrt{16} = 4$ $4 = 4$ Равенство верное.

Ответ: -4.

2) $\sqrt{x^2} = 6x - 10$

Используем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$. Уравнение принимает вид: $|x| = 6x - 10$

Левая часть уравнения $|x|$ неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной. Найдем ОДЗ: $6x - 10 \ge 0$ $6x \ge 10$ $x \ge \frac{10}{6}$ $x \ge \frac{5}{3}$ Любой корень уравнения должен удовлетворять этому условию.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая. Заметим, что наше ОДЗ ($x \ge \frac{5}{3}$) уже означает, что $x$ положителен. Поэтому случай $x < 0$ можно не рассматривать, так как он не пересекается с ОДЗ. Но для полноты решения рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид: $x = 6x - 10$ $10 = 6x - x$ $10 = 5x$ $x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=2$ условию случая ($x \ge 0$) и ОДЗ ($x \ge \frac{5}{3}$). Условие $x \ge 0$: $2 \ge 0$ (верно). Условие ОДЗ $x \ge \frac{5}{3}$: $2 \ge \frac{5}{3}$ (верно, так как $2 = \frac{6}{3}$, а $\frac{6}{3} > \frac{5}{3}$). Следовательно, $x = 2$ является решением.

Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид: $-x = 6x - 10$ $10 = 6x + x$ $10 = 7x$ $x = \frac{10}{7}$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x = \frac{10}{7}$ условию данного случая ($x < 0$). $\frac{10}{7} > 0$, поэтому условие $x < 0$ не выполняется. Значит, $x = \frac{10}{7}$ является посторонним корнем и не является решением.

Таким образом, уравнение имеет только один корень. Проверим его подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{2^2} = 6(2) - 10$ $\sqrt{4} = 12 - 10$ $2 = 2$ Равенство верное.

Ответ: 2.