Номер 513, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Упражнения - номер 513, страница 132.

Условие.

513. Упростите выражение:

1) $\sqrt{9a^{16}}$;

2) $\sqrt{0,81d^6}$, если $d \geq 0$;

3) $-5\sqrt{4x^2}$, если $x \leq 0$;

4) $-0,1\sqrt{100z^{10}}$, если $z \geq 0$;

5) $\sqrt{p^6q^8}$, если $p \geq 0$;

6) $\sqrt{25m^{34}n^{38}}$, если $m \leq 0, n \leq 0$;

7) $ab^2\sqrt{a^4b^{18}c^{22}}$, если $b \geq 0, c \leq 0$;

8) $-\frac{8m^3p^4}{k^2}\sqrt{\frac{625k^{30}p^{40}}{144m^6}}$, если $m < 0, k > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)
Используем свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ и основное тождество для квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.
$\sqrt{9a^{16}} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^{16}} = 3 \cdot \sqrt{(a^8)^2}$.
Применяя тождество, получаем $3 \cdot |a^8|$.
Так как показатель степени 8 — четное число, выражение $a^8$ всегда неотрицательно ($a^8 \ge 0$) для любого действительного значения $a$. Следовательно, модуль можно опустить: $|a^8| = a^8$.
В результате получаем $3a^8$.
Ответ: $3a^8$.

2)
Разложим подкоренное выражение на множители:
$\sqrt{0,81d^6} = \sqrt{0,81} \cdot \sqrt{d^6} = 0,9 \cdot \sqrt{(d^3)^2}$.
Используем правило $\sqrt{y^2} = |y|$, получаем $0,9 \cdot |d^3|$.
По условию $d \ge 0$. Если основание степени неотрицательно, то и нечетная степень этого числа $d^3$ также будет неотрицательной ($d^3 \ge 0$).
Следовательно, $|d^3| = d^3$.
Окончательное выражение: $0,9d^3$.
Ответ: $0,9d^3$.

3)
Сначала упростим выражение под корнем:
$\sqrt{4x^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2} = 2 \cdot |x|$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$-5\sqrt{4x^2} = -5 \cdot (2|x|) = -10|x|$.
По условию задачи $x \le 0$. Согласно определению модуля, если переменная неположительна, ее модуль равен этой переменной, умноженной на -1, то есть $|x| = -x$.
Заменяем $|x|$ на $-x$:
$-10|x| = -10(-x) = 10x$.
Ответ: $10x$.

4)
Упростим выражение с корнем:
$\sqrt{100z^{10}} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{z^{10}} = 10 \cdot \sqrt{(z^5)^2} = 10|z^5|$.
Подставим результат в исходное выражение:
$-0,1 \cdot (10|z^5|) = -1 \cdot |z^5| = -|z^5|$.
По условию $z \ge 0$. Если $z$ неотрицательно, то и $z^5$ также неотрицательно ($z^5 \ge 0$).
Следовательно, $|z^5| = z^5$.
Окончательный результат: $-z^5$.
Ответ: $-z^5$.

5)
Применим свойство корня из произведения:
$\sqrt{p^6q^8} = \sqrt{p^6} \cdot \sqrt{q^8} = \sqrt{(p^3)^2} \cdot \sqrt{(q^4)^2}$.
Используя формулу $\sqrt{x^2} = |x|$, выражение принимает вид $|p^3| \cdot |q^4|$.
Раскроем модули с учетом условий.
По условию $p \ge 0$, значит $p^3 \ge 0$ и $|p^3| = p^3$.
Выражение $q^4$ всегда неотрицательно, так как имеет четный показатель степени (4), поэтому $|q^4| = q^4$ для любого $q$.
Собираем все вместе: $p^3 \cdot q^4 = p^3q^4$.
Ответ: $p^3q^4$.

6)
Разобьем подкоренное выражение на множители:
$\sqrt{25m^{34}n^{38}} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{m^{34}} \cdot \sqrt{n^{38}} = 5 \cdot \sqrt{(m^{17})^2} \cdot \sqrt{(n^{19})^2}$.
Применяя правило $\sqrt{y^2} = |y|$, получаем: $5 \cdot |m^{17}| \cdot |n^{19}|$.
Рассмотрим модули с учетом заданных условий: $m \le 0, n \le 0$.
Так как $m \le 0$ и 17 — нечетное число, то $m^{17} \le 0$. Следовательно, $|m^{17}| = -m^{17}$.
Аналогично, так как $n \le 0$ и 19 — нечетное число, то $n^{19} \le 0$. Следовательно, $|n^{19}| = -n^{19}$.
Подставляем раскрытые модули в выражение:
$5 \cdot (-m^{17}) \cdot (-n^{19}) = 5m^{17}n^{19}$.
Ответ: $5m^{17}n^{19}$.

7)
Сначала упростим корень в выражении:
$\sqrt{a^4b^{18}c^{22}} = \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{(b^9)^2} \cdot \sqrt{(c^{11})^2} = |a^2| \cdot |b^9| \cdot |c^{11}|$.
Теперь раскроем модули с учетом условий $b \ge 0, c \le 0$.
Выражение $a^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|a^2| = a^2$.
По условию $b \ge 0$, значит нечетная степень $b^9 \ge 0$, и $|b^9| = b^9$.
По условию $c \le 0$. Так как 11 — нечетный показатель, то $c^{11} \le 0$. Значит, $|c^{11}| = -c^{11}$.
Таким образом, $\sqrt{a^4b^{18}c^{22}} = a^2 \cdot b^9 \cdot (-c^{11}) = -a^2b^9c^{11}$.
Подставим это в исходное выражение:
$ab^2 \cdot (-a^2b^9c^{11}) = -a^{1+2}b^{2+9}c^{11} = -a^3b^{11}c^{11}$.
Ответ: $-a^3b^{11}c^{11}$.

8)
Упростим выражение по частям. Сначала извлечем корень, используя свойства $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ и $\sqrt{x^2}=|x|$.
$\sqrt{\frac{625k^{30}p^{40}}{144m^6}} = \frac{\sqrt{625k^{30}p^{40}}}{\sqrt{144m^6}} = \frac{25|k^{15}||p^{20}|}{12|m^3|}$.
Теперь раскроем модули с учетом данных условий $m < 0, k > 0$.
Поскольку $k > 0$, то $k^{15} > 0$, следовательно $|k^{15}| = k^{15}$.
Выражение $p^{20}$ всегда неотрицательно, так как имеет четный показатель, поэтому $|p^{20}| = p^{20}$.
Поскольку $m < 0$, то $m^3 < 0$ (так как 3 — нечетная степень), следовательно $|m^3| = -m^3$.
Подставляем раскрытые модули в выражение для корня:
$\frac{25 \cdot k^{15} \cdot p^{20}}{12 \cdot (-m^3)} = -\frac{25k^{15}p^{20}}{12m^3}$.
Теперь умножим полученный результат на множитель перед корнем:
$-\frac{8m^3p^4}{k^2} \cdot \left(-\frac{25k^{15}p^{20}}{12m^3}\right) = \frac{8m^3p^4}{k^2} \cdot \frac{25k^{15}p^{20}}{12m^3}$.
Сокращаем числовые коэффициенты и переменные:
$\frac{8 \cdot 25}{12} \cdot \frac{m^3}{m^3} \cdot \frac{k^{15}}{k^2} \cdot p^4 p^{20} = \frac{2 \cdot 25}{3} \cdot 1 \cdot k^{15-2} \cdot p^{4+20} = \frac{50}{3}k^{13}p^{24}$.
Ответ: $\frac{50}{3}k^{13}p^{24}$.