Номер 514, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Упражнения - номер 514, страница 132.

Условие.

514. Какие из данных равенств выполняются при всех действительных значениях a:

1) $\sqrt{a^2} = a;$

2) $\sqrt{a^4} = a^2;$

3) $\sqrt{a^6} = a^3;$

4) $\sqrt{a^8} = a^4?`$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для определения, какие из данных равенств выполняются при всех действительных значениях a, необходимо проанализировать каждое из них, используя основное свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{x^2} = |x|$ для любого действительного числа x. По определению, результат извлечения квадратного корня не может быть отрицательным.

1) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^2} = a$.

Согласно свойству корня, левая часть равенства преобразуется к виду $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, исходное равенство эквивалентно $|a| = a$. Это соотношение верно только для неотрицательных значений, то есть при $a \ge 0$. Для отрицательных a равенство не выполняется. Например, при $a = -3$:
Левая часть: $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$.
Правая часть: $a = -3$.
Так как $3 \ne -3$, равенство не выполняется для всех действительных a.

Ответ: не выполняется.

2) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^4} = a^2$.

Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $a^4 = (a^2)^2$. Тогда $\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2|$.
Поскольку для любого действительного числа a выражение $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), то модуль этого выражения равен самому выражению: $|a^2| = a^2$. Следовательно, равенство $\sqrt{a^4} = a^2$ выполняется для всех действительных значений a.

Ответ: выполняется.

3) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^6} = a^3$.

Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $a^6 = (a^3)^2$. Тогда $\sqrt{a^6} = \sqrt{(a^3)^2} = |a^3|$.
Равенство $|a^3| = a^3$ верно только в том случае, если $a^3 \ge 0$, что эквивалентно $a \ge 0$. Для отрицательных a равенство не выполняется. Например, при $a = -2$:
Левая часть: $\sqrt{(-2)^6} = \sqrt{64} = 8$.
Правая часть: $a^3 = (-2)^3 = -8$.
Так как $8 \ne -8$, равенство неверно для отрицательных a.

Ответ: не выполняется.

4) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^8} = a^4$.

Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $a^8 = (a^4)^2$. Тогда $\sqrt{a^8} = \sqrt{(a^4)^2} = |a^4|$.
Поскольку для любого действительного числа a выражение $a^4$ (возведение в четную степень) всегда неотрицательно ($a^4 \ge 0$), то модуль этого выражения равен самому выражению: $|a^4| = a^4$. Следовательно, равенство $\sqrt{a^8} = a^4$ выполняется для всех действительных значений a.

Ответ: выполняется.