Номер 515, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Упражнения - номер 515, страница 132.

Условие.

515. При каких значениях a выполняется равенство:

1) $\sqrt{a^{10}} = a^5$;

2) $\sqrt{a^{10}} = -a^5$;

3) $\sqrt{a^2} = (\sqrt{a})^2$;

4) $\sqrt{a^2} = (\sqrt{-a})^2$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) В равенстве $\sqrt{a^{10}} = a^5$ преобразуем левую часть. Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем $\sqrt{a^{10}} = \sqrt{(a^5)^2} = |a^5|$. Таким образом, исходное равенство равносильно уравнению $|a^5| = a^5$. По определению модуля, это равенство верно тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $a^5 \ge 0$. Данное неравенство выполняется при $a \ge 0$. Ответ: $a \ge 0$.

2) В равенстве $\sqrt{a^{10}} = -a^5$ левая часть, как и в предыдущем пункте, равна $|a^5|$. Исходное равенство принимает вид $|a^5| = -a^5$. По определению модуля, равенство вида $|x| = -x$ верно тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $a^5 \le 0$. Данное неравенство выполняется при $a \le 0$. Ответ: $a \le 0$.

3) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^2} = (\sqrt{a})^2$. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Левая часть $\sqrt{a^2}$ определена для любого действительного числа $a$. Правая часть $(\sqrt{a})^2$ определена только тогда, когда выражение под корнем неотрицательно, то есть $a \ge 0$. Следовательно, ОДЗ для всего равенства: $a \ge 0$. При $a \ge 0$ левая часть равна $\sqrt{a^2} = |a| = a$, и правая часть равна $(\sqrt{a})^2 = a$. Равенство $a=a$ верно для всех значений $a$ из ОДЗ. Ответ: $a \ge 0$.

4) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^2} = (\sqrt{-a})^2$. Найдем область допустимых значений. Левая часть $\sqrt{a^2}$ определена для любого $a \in \mathbb{R}$. Правая часть $(\sqrt{-a})^2$ определена при $-a \ge 0$, что равносильно $a \le 0$. Следовательно, ОДЗ для всего равенства: $a \le 0$. При $a \le 0$ левая часть равна $\sqrt{a^2} = |a| = -a$, а правая часть равна $(\sqrt{-a})^2 = -a$. Равенство $-a=-a$ верно для всех значений $a$ из ОДЗ. Ответ: $a \le 0$.