Номер 511, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Упражнения - номер 511, страница 131.

Условие.

511. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:

1) $1.2\sqrt{x^2}$;

2) $\sqrt{y^4}$;

3) $\sqrt{n^{10}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить выражение $1,2\sqrt{x^2}$, воспользуемся свойством арифметического квадратного корня, согласно которому $\sqrt{a^2} = |a|$ для любого действительного числа $a$.

Применяя это свойство к нашему выражению, где $a=x$, получаем:

$1,2\sqrt{x^2} = 1,2 \cdot |x| = 1,2|x|$

Выражение $1,2|x|$ является тождественно равным исходному и не содержит знака корня. Знак модуля необходим, так как $x$ может быть отрицательным числом, а результат извлечения квадратного корня всегда неотрицателен.

Ответ: $1,2|x|$

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{y^4}$.

Представим подкоренное выражение $y^4$ в виде квадрата другого выражения: $y^4 = (y^2)^2$.

Тогда выражение можно переписать как $\sqrt{y^4} = \sqrt{(y^2)^2}$.

Используя то же свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, где в данном случае $a = y^2$, получим:

$\sqrt{(y^2)^2} = |y^2|$

Поскольку квадрат любого действительного числа $y$ всегда является неотрицательным числом ($y^2 \ge 0$), то модуль от этого выражения равен самому выражению: $|y^2| = y^2$.

Следовательно, $\sqrt{y^4} = y^2$.

Ответ: $y^2$

3) Упростим выражение $\sqrt{n^{10}}$.

Представим подкоренное выражение $n^{10}$ как квадрат: $n^{10} = (n^5)^2$.

Тогда $\sqrt{n^{10}} = \sqrt{(n^5)^2}$.

Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ при $a = n^5$, получаем:

$\sqrt{(n^5)^2} = |n^5|$

В этом случае мы не можем опустить знак модуля, так как знак выражения $n^5$ зависит от знака $n$. Если $n$ - отрицательное число, то $n^5$ также будет отрицательным. Если $n$ - неотрицательное число, то $n^5$ будет неотрицательным. Поэтому, чтобы равенство было тождественным для всех $n$, знак модуля необходимо сохранить.

Ответ: $|n^5|$