Номер 518, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Упражнения - номер 518, страница 132.

Условие.

518. При каком значении x выполняется равенство:

1) $\sqrt{x^2} = x - 4;$

2) $\sqrt{x^2} = 6 - x;$

3) $2\sqrt{x^2} = x + 3?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данных уравнений воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$. Это означает, что корень из квадрата числа равен модулю этого числа.

1) $\sqrt{x^2} = x - 4$

Заменяем $\sqrt{x^2}$ на $|x|$:
$|x| = x - 4$

По определению, модуль числа — величина неотрицательная, следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:
$x - 4 \geq 0$
$x \geq 4$

Поскольку мы ищем решения при условии $x \geq 4$, то $x$ является положительным числом. Для положительных чисел $|x| = x$. Подставим это в уравнение:
$x = x - 4$

Вычитая $x$ из обеих частей равенства, получаем:
$0 = -4$

Это неверное равенство, что означает, что у уравнения нет решений, удовлетворяющих условию $x \geq 4$. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: решений нет.

---

2) $\sqrt{x^2} = 6 - x$

Заменяем $\sqrt{x^2}$ на $|x|$:
$|x| = 6 - x$

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной:
$6 - x \geq 0$
$x \leq 6$

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля.

Случай 1: $x \geq 0$.
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x = 6 - x$
$2x = 6$
$x = 3$
Этот корень удовлетворяет обоим условиям: $x \geq 0$ и $x \leq 6$. Значит, $x = 3$ является решением.

Случай 2: $x < 0$.
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-x = 6 - x$
$0 = 6$
Это неверное равенство, следовательно, при $x < 0$ решений нет.

Единственным решением уравнения является $x = 3$.

Ответ: $x = 3$.

---

3) $2\sqrt{x^2} = x + 3$

Заменяем $\sqrt{x^2}$ на $|x|$:
$2|x| = x + 3$

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной:
$x + 3 \geq 0$
$x \geq -3$

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля с учетом условия $x \geq -3$.

Случай 1: $x \geq 0$. (Этот интервал входит в область $x \geq -3$)
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$2x = x + 3$
$2x - x = 3$
$x = 3$
Этот корень удовлетворяет условию $x \geq 0$. Значит, $x = 3$ является решением.

Случай 2: $x < 0$. С учетом общего ограничения $x \geq -3$, рассматриваем интервал $-3 \leq x < 0$.
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$2(-x) = x + 3$
$-2x = x + 3$
$-3x = 3$
$x = -1$
Этот корень удовлетворяет условию $-3 \leq x < 0$. Значит, $x = -1$ также является решением.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x = 3$; $x = -1$.