Номер 525, страница 136 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 525, страница 136.

Условие.

525. Упростите выражение:

1) $\frac{2}{3}\sqrt{45};$

2) $\frac{1}{2}\sqrt{128};$

3) $\frac{1}{10}\sqrt{200};$

4) $-0,05\sqrt{4400}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{2}{3}\sqrt{45}$, необходимо вынести множитель из-под знака корня. Для этого представим число 45 в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом. Число 45 можно разложить как $9 \times 5$. Так как $9 = 3^2$, то 9 является полным квадратом.
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{2}{3}\sqrt{45} = \frac{2}{3} \times 3\sqrt{5}$.
Умножим коэффициент $\frac{2}{3}$ на вынесенный множитель 3:
$\frac{2}{3} \times 3 = 2$.
Таким образом, итоговое выражение равно $2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$.

2) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{2}\sqrt{128}$, вынесем множитель из-под знака корня. Представим число 128 в виде произведения с множителем, являющимся полным квадратом. $128 = 64 \times 2$. Число 64 является полным квадратом, так как $64 = 8^2$.
$\sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$\frac{1}{2}\sqrt{128} = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{2}$.
Умножим коэффициент $\frac{1}{2}$ на 8:
$\frac{1}{2} \times 8 = 4$.
В результате получаем $4\sqrt{2}$.
Ответ: $4\sqrt{2}$.

3) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{10}\sqrt{200}$, вынесем множитель из-под знака корня. Разложим число 200 на множители так, чтобы один из них был полным квадратом. $200 = 100 \times 2$. Число 100 является полным квадратом, так как $100 = 10^2$.
$\sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{1}{10}\sqrt{200} = \frac{1}{10} \times 10\sqrt{2}$.
Перемножим коэффициенты:
$\frac{1}{10} \times 10 = 1$.
Итоговое выражение: $1 \times \sqrt{2} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

4) Чтобы упростить выражение $-0,05\sqrt{4400}$, вынесем множитель из-под знака корня. Разложим число 4400 на множители. $4400 = 44 \times 100 = 4 \times 11 \times 100$. Мы можем сгруппировать полные квадраты: $4 \times 100 = 400$. Таким образом, $4400 = 400 \times 11$. Число 400 — это полный квадрат, так как $400 = 20^2$.
$\sqrt{4400} = \sqrt{400 \times 11} = \sqrt{400} \times \sqrt{11} = 20\sqrt{11}$.
Подставим это в исходное выражение:
$-0,05\sqrt{4400} = -0,05 \times 20\sqrt{11}$.
Умножим коэффициенты:
$-0,05 \times 20 = -\frac{5}{100} \times 20 = -\frac{100}{100} = -1$.
В результате получаем $-1 \times \sqrt{11} = -\sqrt{11}$.
Ответ: $-\sqrt{11}$.