Номер 523, страница 133 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 523, страница 133.

Условие.

523. На доске записаны 102 последовательных натуральных числа. Можно ли разбить их на две группы так, чтобы сумма чисел в каждой группе была простым числом (в каждой группе должно быть не менее двух чисел)?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть на доске записаны 102 последовательных натуральных числа. Обозначим первое число этой последовательности за $n$. Тогда вся последовательность чисел будет иметь вид: $n, n+1, n+2, \ldots, n+101$.

Сначала найдем общую сумму всех этих чисел. Эта последовательность представляет собой арифметическую прогрессию, состоящую из 102 членов. Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{k}{2}(a_1 + a_k)$, где $k$ — количество членов, $a_1$ — первый член, а $a_k$ — последний.

В нашем случае $k=102$, $a_1=n$ и $a_{102}=n+101$.
Общая сумма $S_{общ}$ будет равна:
$S_{общ} = \frac{102}{2}(n + (n+101)) = 51 \cdot (2n + 101)$.

Проанализируем четность этой суммы.

• Множитель 51 является нечетным числом.
• Выражение $2n$ всегда четное для любого натурального $n$.
• Число 101 является нечетным.
• Сумма четного и нечетного числа ($2n + 101$) всегда является нечетным числом.

Таким образом, $S_{общ}$ равна произведению двух нечетных чисел (51 и $2n+101$). Произведение двух нечетных чисел всегда нечетно. Следовательно, общая сумма всех 102 чисел — нечетное число.

По условию, мы должны разбить эти числа на две группы. Пусть сумма чисел в первой группе будет $S_1$, а во второй — $S_2$. Тогда должно выполняться равенство $S_1 + S_2 = S_{общ}$.

Согласно условию задачи, $S_1$ и $S_2$ должны быть простыми числами. Также в каждой группе должно быть не менее двух чисел. Так как мы имеем дело с натуральными числами (наименьшие из которых 1, 2, 3, ...), то минимально возможная сумма двух разных чисел в группе — это $1+2=3$. Значит, $S_1 \ge 3$ и $S_2 \ge 3$.

Единственное четное простое число — это 2. Поскольку обе суммы $S_1$ и $S_2$ больше или равны 3, ни одна из них не может быть равна 2. Это означает, что $S_1$ и $S_2$ должны быть нечетными простыми числами (все простые числа, кроме 2, являются нечетными).

Сумма двух нечетных чисел ($S_1$ и $S_2$) всегда является четным числом. Следовательно, их сумма $S_{общ} = S_1 + S_2$ должна быть четной.

Мы пришли к противоречию:

1. С одной стороны, общая сумма $S_{общ}$ всех 102 чисел является нечетным числом.
2. С другой стороны, если бы требуемое разбиение на две группы было возможно, их общая сумма $S_{общ}$ должна была бы быть четным числом.

Поскольку число не может быть одновременно и четным, и нечетным, такое разбиение невозможно.

Ответ: нет, нельзя.