Номер 526, страница 136 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 526, страница 136.

Условие.

526. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{27}$;

2) $\sqrt{24}$;

3) $\sqrt{20}$;

4) $\sqrt{125}$;

5) $\frac{1}{8}\sqrt{96}$;

6) $0,4\sqrt{250}$;

7) $-2\sqrt{0,18}$;

8) $\frac{4}{9}\sqrt{63}$;

9) $0,8\sqrt{1250}$;

10) $\frac{3}{7}\sqrt{98}$;

11) $10\sqrt{0,03}$;

12) $0,7\sqrt{1000}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{27}$, необходимо разложить подкоренное выражение на множители таким образом, чтобы один из них был точным квадратом. Число 27 можно представить как $9 \times 3$.
Применяя свойство корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, получаем:
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Ответ: $3\sqrt{3}$.

2) Разложим подкоренное выражение 24 на множители, выделив полный квадрат: $24 = 4 \cdot 6$.
Тогда $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.
Ответ: $2\sqrt{6}$.

3) Разложим подкоренное выражение 20 на множители: $20 = 4 \cdot 5$.
Следовательно, $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$.

4) Разложим подкоренное выражение 125 на множители: $125 = 25 \cdot 5$.
Следовательно, $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
Ответ: $5\sqrt{5}$.

5) Сначала упростим корень $\sqrt{96}$. Разложим 96 на множители так, чтобы выделить наибольший возможный квадрат: $96 = 16 \cdot 6$.
$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$.
Теперь умножим результат на коэффициент $\frac{1}{8}$:
$\frac{1}{8}\sqrt{96} = \frac{1}{8} \cdot 4\sqrt{6} = \frac{4}{8}\sqrt{6} = \frac{1}{2}\sqrt{6}$.
Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{6}$.

6) Упростим корень $\sqrt{250}$. Разложим 250 на множители: $250 = 25 \cdot 10$.
$\sqrt{250} = \sqrt{25 \cdot 10} = 5\sqrt{10}$.
Теперь умножим на коэффициент 0,4:
$0.4\sqrt{250} = 0.4 \cdot 5\sqrt{10} = 2\sqrt{10}$.
Ответ: $2\sqrt{10}$.

7) Представим подкоренное выражение 0,18 как произведение $0.09 \cdot 2$. Число 0,09 является полным квадратом ($0.3^2$).
$-2\sqrt{0.18} = -2\sqrt{0.09 \cdot 2} = -2 \cdot (\sqrt{0.09} \cdot \sqrt{2}) = -2 \cdot 0.3\sqrt{2} = -0.6\sqrt{2}$.
Ответ: $-0.6\sqrt{2}$.

8) Упростим корень $\sqrt{63}$. Разложим 63 на множители: $63 = 9 \cdot 7$.
$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$.
Умножим результат на коэффициент $\frac{4}{9}$:
$\frac{4}{9}\sqrt{63} = \frac{4}{9} \cdot 3\sqrt{7} = \frac{12}{9}\sqrt{7} = \frac{4}{3}\sqrt{7}$.
Ответ: $\frac{4}{3}\sqrt{7}$.

9) Упростим корень $\sqrt{1250}$. Разложим 1250 на множители, выделив наибольший квадрат. $1250 = 625 \cdot 2$, где $625 = 25^2$.
$\sqrt{1250} = \sqrt{625 \cdot 2} = 25\sqrt{2}$.
Умножим на коэффициент 0,8:
$0.8\sqrt{1250} = 0.8 \cdot 25\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$.
Ответ: $20\sqrt{2}$.

10) Упростим корень $\sqrt{98}$. Разложим 98 на множители: $98 = 49 \cdot 2$.
$\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$.
Умножим результат на коэффициент $\frac{3}{7}$:
$\frac{3}{7}\sqrt{98} = \frac{3}{7} \cdot 7\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Ответ: $3\sqrt{2}$.

11) Для упрощения выражения $10\sqrt{0.03}$ можно внести множитель 10 под знак корня. Чтобы внести положительный множитель под знак корня, его нужно возвести в квадрат:
$10\sqrt{0.03} = \sqrt{10^2 \cdot 0.03} = \sqrt{100 \cdot 0.03} = \sqrt{3}$.
Другой способ: представить 0,03 как дробь $\frac{3}{100}$.
$10\sqrt{0.03} = 10\sqrt{\frac{3}{100}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{100}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

12) Упростим корень $\sqrt{1000}$. Разложим 1000 на множители: $1000 = 100 \cdot 10$.
$\sqrt{1000} = \sqrt{100 \cdot 10} = 10\sqrt{10}$.
Умножим на коэффициент 0,7:
$0.7\sqrt{1000} = 0.7 \cdot 10\sqrt{10} = 7\sqrt{10}$.
Ответ: $7\sqrt{10}$.