Номер 533, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 533, страница 137.

Условие.

533. Упростите выражение:

1) $8\sqrt{2} - \sqrt{32}$;

2) $6\sqrt{3} - \sqrt{27}$;

3) $\sqrt{96} - 3\sqrt{6}$;

4) $2\sqrt{500} - 8\sqrt{5}$;

5) $5\sqrt{7} - \sqrt{700} - 0,5\sqrt{28}$;

6) $2\sqrt{20} - \frac{1}{3}\sqrt{45} - 0,6\sqrt{125}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить выражение $8\sqrt{2} - \sqrt{32}$, необходимо привести корни к одному основанию. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в члене $\sqrt{32}$.
Разложим подкоренное выражение 32 на множители так, чтобы один из них был полным квадратом: $32 = 16 \cdot 2$.
Тогда $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
$8\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = (8-4)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Ответ: $4\sqrt{2}$.

2) Упростим выражение $6\sqrt{3} - \sqrt{27}$.
Аналогично предыдущему пункту, вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{27}$.
Разложим число 27 на множители: $27 = 9 \cdot 3$.
Тогда $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Подставим это значение в выражение:
$6\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (6-3)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Ответ: $3\sqrt{3}$.

3) Упростим выражение $\sqrt{96} - 3\sqrt{6}$.
Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{96}$.
Разложим число 96 на множители: $96 = 16 \cdot 6$.
Тогда $\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$.
Подставим это значение в выражение:
$4\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = (4-3)\sqrt{6} = \sqrt{6}$.
Ответ: $\sqrt{6}$.

4) Упростим выражение $2\sqrt{500} - 8\sqrt{5}$.
Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{500}$.
Разложим число 500 на множители: $500 = 100 \cdot 5$.
Тогда $\sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{5} = 10\sqrt{5}$.
Подставим это значение в выражение:
$2 \cdot 10\sqrt{5} - 8\sqrt{5} = 20\sqrt{5} - 8\sqrt{5} = (20-8)\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$.
Ответ: $12\sqrt{5}$.

5) Упростим выражение $5\sqrt{7} - \sqrt{700} - 0,5\sqrt{28}$.
Приведем все члены к виду $k\sqrt{7}$.
Упростим $\sqrt{700}$: $700 = 100 \cdot 7$, поэтому $\sqrt{700} = \sqrt{100 \cdot 7} = 10\sqrt{7}$.
Упростим $\sqrt{28}$: $28 = 4 \cdot 7$, поэтому $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
Теперь подставим упрощенные корни в исходное выражение:
$5\sqrt{7} - 10\sqrt{7} - 0,5 \cdot (2\sqrt{7}) = 5\sqrt{7} - 10\sqrt{7} - 1\sqrt{7}$.
Сложим коэффициенты при $\sqrt{7}$:
$(5 - 10 - 1)\sqrt{7} = -6\sqrt{7}$.
Ответ: $-6\sqrt{7}$.

6) Упростим выражение $2\sqrt{20} - \frac{1}{3}\sqrt{45} - 0,6\sqrt{125}$.
Приведем все члены к общему корню, вынося множители из-под знака корня. Заметим, что все подкоренные выражения делятся на 5.
Упростим $\sqrt{20}$: $20 = 4 \cdot 5$, поэтому $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Упростим $\sqrt{45}$: $45 = 9 \cdot 5$, поэтому $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.
Упростим $\sqrt{125}$: $125 = 25 \cdot 5$, поэтому $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$.
Теперь подставим упрощенные корни в исходное выражение:
$2 \cdot (2\sqrt{5}) - \frac{1}{3} \cdot (3\sqrt{5}) - 0,6 \cdot (5\sqrt{5}) = 4\sqrt{5} - 1\sqrt{5} - 3\sqrt{5}$.
Сложим коэффициенты при $\sqrt{5}$:
$(4 - 1 - 3)\sqrt{5} = 0\sqrt{5} = 0$.
Ответ: $0$.