Номер 535, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 535, страница 137.

Условие.

535. Упростите выражение:

1) $4\sqrt{700} - 27\sqrt{7};$

2) $\sqrt{75} - 6\sqrt{3};$

3) $2\sqrt{50} - 8\sqrt{2};$

4) $5\sqrt{12} - 7\sqrt{3};$

5) $3\sqrt{72} - 4\sqrt{2} + 2\sqrt{98};$

6) $\frac{1}{3}\sqrt{108} + \sqrt{363} - \frac{2}{9}\sqrt{243}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $4\sqrt{700} - 27\sqrt{7}$ необходимо привести корни к одному виду. Для этого упростим $\sqrt{700}$, вынеся множитель из-под знака корня.
Разложим подкоренное выражение 700 на множители так, чтобы один из них был наибольшим возможным полным квадратом: $700 = 100 \cdot 7$.
Тогда $\sqrt{700} = \sqrt{100 \cdot 7} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{7} = 10\sqrt{7}$.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$4\sqrt{700} - 27\sqrt{7} = 4 \cdot (10\sqrt{7}) - 27\sqrt{7} = 40\sqrt{7} - 27\sqrt{7}$.
Выполним вычитание, так как у нас есть подобные слагаемые:
$(40 - 27)\sqrt{7} = 13\sqrt{7}$.
Ответ: $13\sqrt{7}$.

2) Упростим выражение $\sqrt{75} - 6\sqrt{3}$.
Вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $\sqrt{75}$. Разложим 75 на множители: $75 = 25 \cdot 3$.
Следовательно, $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Подставим полученное значение в выражение:
$5\sqrt{3} - 6\sqrt{3}$.
Выполним вычитание подобных слагаемых:
$(5 - 6)\sqrt{3} = -1\sqrt{3} = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$.

3) Упростим выражение $2\sqrt{50} - 8\sqrt{2}$.
Упростим $\sqrt{50}$, разложив 50 на множители: $50 = 25 \cdot 2$.
Тогда $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
Подставим в исходное выражение:
$2 \cdot (5\sqrt{2}) - 8\sqrt{2} = 10\sqrt{2} - 8\sqrt{2}$.
Выполним вычитание:
$(10 - 8)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Ответ: $2\sqrt{2}$.

4) Упростим выражение $5\sqrt{12} - 7\sqrt{3}$.
Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{12}$. Разложим 12 на множители: $12 = 4 \cdot 3$.
Тогда $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Подставим в исходное выражение:
$5 \cdot (2\sqrt{3}) - 7\sqrt{3} = 10\sqrt{3} - 7\sqrt{3}$.
Выполним вычитание:
$(10 - 7)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Ответ: $3\sqrt{3}$.

5) Упростим выражение $3\sqrt{72} - 4\sqrt{2} + 2\sqrt{98}$.
Для начала упростим корни $\sqrt{72}$ и $\sqrt{98}$, вынеся множители из-под знака корня, чтобы привести все слагаемые к общему виду.
Разложим 72 на множители: $72 = 36 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.
Разложим 98 на множители: $98 = 49 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$.
Подставим упрощенные корни в исходное выражение:
$3 \cdot (6\sqrt{2}) - 4\sqrt{2} + 2 \cdot (7\sqrt{2}) = 18\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 14\sqrt{2}$.
Теперь все слагаемые содержат $\sqrt{2}$, поэтому мы можем их сложить и вычесть:
$(18 - 4 + 14)\sqrt{2} = (14 + 14)\sqrt{2} = 28\sqrt{2}$.
Ответ: $28\sqrt{2}$.

6) Упростим выражение $\frac{1}{3}\sqrt{108} + \sqrt{363} - \frac{2}{9}\sqrt{243}$.
Упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня. Заметим, что все подкоренные выражения делятся на 3.
Для $\sqrt{108}$: $108 = 36 \cdot 3$, значит $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$.
Для $\sqrt{363}$: $363 = 121 \cdot 3$, значит $\sqrt{363} = \sqrt{121 \cdot 3} = 11\sqrt{3}$.
Для $\sqrt{243}$: $243 = 81 \cdot 3$, значит $\sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3}$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{1}{3} \cdot (6\sqrt{3}) + 11\sqrt{3} - \frac{2}{9} \cdot (9\sqrt{3})$.
Выполним умножение коэффициентов:
$\frac{6}{3}\sqrt{3} + 11\sqrt{3} - \frac{2 \cdot 9}{9}\sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 11\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$.
Сложим и вычтем слагаемые:
$(2 + 11 - 2)\sqrt{3} = 11\sqrt{3}$.
Ответ: $11\sqrt{3}$.