Номер 542, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 542, страница 138.

Условие.

542. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{4}{\sqrt{2}}$;

2) $\frac{12}{\sqrt{6}}$;

3) $\frac{18}{\sqrt{5}}$;

4) $\frac{m}{\sqrt{n}}$;

5) $\frac{a}{b\sqrt{b}}$;

6) $\frac{5}{\sqrt{15}}$;

7) $\frac{7}{\sqrt{7}}$;

8) $\frac{24}{5\sqrt{3}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{4}{\sqrt{2}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на $\sqrt{2}$.

$\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{4\sqrt{2}}{2}$

Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$

2) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{12}{\sqrt{6}}$ на $\sqrt{6}$, чтобы убрать корень из знаменателя.

$\frac{12}{\sqrt{6}} = \frac{12 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{6}$

Сократим дробь на 6:

$\frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}$

Ответ: $2\sqrt{6}$

3) Для дроби $\frac{18}{\sqrt{5}}$ выполним умножение числителя и знаменателя на $\sqrt{5}$.

$\frac{18}{\sqrt{5}} = \frac{18 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{18\sqrt{5}}{5}$

Данная дробь не сокращается, так как у 18 и 5 нет общих делителей.

Ответ: $\frac{18\sqrt{5}}{5}$

4) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{m}{\sqrt{n}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{n}$. Предполагается, что $n > 0$.

$\frac{m}{\sqrt{n}} = \frac{m \cdot \sqrt{n}}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n}} = \frac{m\sqrt{n}}{n}$

Ответ: $\frac{m\sqrt{n}}{n}$

5) В знаменателе дроби $\frac{a}{b\sqrt{b}}$ находится иррациональное выражение $\sqrt{b}$. Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{b}$. Предполагается, что $b > 0$.

$\frac{a}{b\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{b\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b \cdot (\sqrt{b})^2} = \frac{a\sqrt{b}}{b \cdot b} = \frac{a\sqrt{b}}{b^2}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{b}}{b^2}$

6) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{5}{\sqrt{15}}$ на $\sqrt{15}$.

$\frac{5}{\sqrt{15}} = \frac{5 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{5\sqrt{15}}{15}$

Сократим полученную дробь на 5:

$\frac{5\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{3}$

7) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{7}{\sqrt{7}}$ на $\sqrt{7}$.

$\frac{7}{\sqrt{7}} = \frac{7 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{7}}{7}$

Сократим дробь на 7:

$\frac{7\sqrt{7}}{7} = \sqrt{7}$

Ответ: $\sqrt{7}$

8) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{24}{5\sqrt{3}}$, умножим числитель и знаменатель на иррациональную часть знаменателя, то есть на $\sqrt{3}$.

$\frac{24}{5\sqrt{3}} = \frac{24 \cdot \sqrt{3}}{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{5 \cdot (\sqrt{3})^2} = \frac{24\sqrt{3}}{5 \cdot 3} = \frac{24\sqrt{3}}{15}$

Сократим дробный коэффициент $\frac{24}{15}$, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{24\sqrt{3}}{15} = \frac{8\sqrt{3}}{5}$

Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{5}$