Номер 545, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 545, страница 139.

Условие.

545. Разложите на множители выражение:

1) $15 - x^2$;

2) $49x^2 - 2$;

3) $36p - 64q$, если $p \ge 0, q \ge 0$;

4) $c - 100$, если $c \ge 0$;

5) $a - 8b\sqrt{a} + 16b^2$;

6) $m + 2\sqrt{mn} + n$, если $m \ge 0, n \ge 0$;

7) $a - 4\sqrt{a} + 4$;

8) $5 + \sqrt{5}$;

9) $\sqrt{3p} - p$;

10) $\sqrt{12} + \sqrt{32}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для разложения выражения $15 - x^2$ на множители, представим число 15 как квадратный корень из 15 в квадрате, то есть $15 = (\sqrt{15})^2$. Тогда выражение примет вид $(\sqrt{15})^2 - x^2$. Это формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = \sqrt{15}$ и $b = x$.
$15 - x^2 = (\sqrt{15})^2 - x^2 = (\sqrt{15} - x)(\sqrt{15} + x)$.
Ответ: $(\sqrt{15} - x)(\sqrt{15} + x)$.

2) В выражении $49x^2 - 2$ представим каждое слагаемое в виде квадрата. $49x^2 = (7x)^2$ и $2 = (\sqrt{2})^2$. Выражение становится $(7x)^2 - (\sqrt{2})^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 7x$ и $b = \sqrt{2}$.
$49x^2 - 2 = (7x - \sqrt{2})(7x + \sqrt{2})$.
Ответ: $(7x - \sqrt{2})(7x + \sqrt{2})$.

3) Сначала вынесем за скобки общий числовой множитель в выражении $36p - 64q$. Наибольший общий делитель чисел 36 и 64 равен 4. Получим $4(9p - 16q)$. Так как по условию $p \ge 0$ и $q \ge 0$, мы можем представить выражение в скобках как разность квадратов: $9p = (3\sqrt{p})^2$ и $16q = (8\sqrt{q})^2$.
$4(9p - 16q) = 4((3\sqrt{p})^2 - (8\sqrt{q})^2) = 4(3\sqrt{p} - 8\sqrt{q})(3\sqrt{p} + 8\sqrt{q})$.
Ответ: $4(3\sqrt{p} - 8\sqrt{q})(3\sqrt{p} + 8\sqrt{q})$.

4) В выражении $c - 100$ при условии $c \ge 0$ можно представить $c$ как $(\sqrt{c})^2$, а 100 как $10^2$. Получаем разность квадратов $(\sqrt{c})^2 - 10^2$. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = \sqrt{c}$ и $b = 10$.
$c - 100 = (\sqrt{c} - 10)(\sqrt{c} + 10)$.
Ответ: $(\sqrt{c} - 10)(\sqrt{c} + 10)$.

5) Выражение $a - 8b\sqrt{a} + 16b^2$ является полным квадратом. Заметим, что $a = (\sqrt{a})^2$ (так как $\sqrt{a}$ существует, то $a \ge 0$), а $16b^2 = (4b)^2$. Средний член $-8b\sqrt{a}$ равен $-2 \cdot \sqrt{a} \cdot 4b$. Таким образом, это соответствует формуле квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = \sqrt{a}$ и $y = 4b$.
$a - 8b\sqrt{a} + 16b^2 = (\sqrt{a} - 4b)^2$.
Ответ: $(\sqrt{a} - 4b)^2$.

6) Выражение $m + 2\sqrt{mn} + n$ при $m \ge 0, n \ge 0$ можно представить в виде полного квадрата. Так как $m = (\sqrt{m})^2$, $n = (\sqrt{n})^2$, а $2\sqrt{mn} = 2\sqrt{m}\sqrt{n}$, выражение принимает вид $(\sqrt{m})^2 + 2\sqrt{m}\sqrt{n} + (\sqrt{n})^2$. Это формула квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x = \sqrt{m}$ и $y = \sqrt{n}$.
$m + 2\sqrt{mn} + n = (\sqrt{m} + \sqrt{n})^2$.
Ответ: $(\sqrt{m} + \sqrt{n})^2$.

7) Выражение $a - 4\sqrt{a} + 4$ является полным квадратом. Представим $a = (\sqrt{a})^2$ (подразумевается, что $a \ge 0$) и $4 = 2^2$. Средний член $-4\sqrt{a}$ равен $-2 \cdot \sqrt{a} \cdot 2$. Это соответствует формуле квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$, где $x = \sqrt{a}$ и $y = 2$.
$a - 4\sqrt{a} + 4 = (\sqrt{a} - 2)^2$.
Ответ: $(\sqrt{a} - 2)^2$.

8) Чтобы разложить на множители выражение $5 + \sqrt{5}$, вынесем общий множитель. Представим $5$ как $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$. Тогда выражение будет иметь вид $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5}$. Выносим общий множитель $\sqrt{5}$ за скобки.
$5 + \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)$.
Ответ: $\sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)$.

9) Для разложения на множители выражения $\sqrt{3p} - p$ найдем общий множитель. Подразумевается, что $p \ge 0$. Представим $\sqrt{3p}$ как $\sqrt{3}\sqrt{p}$, а $p$ как $\sqrt{p}\sqrt{p}$. Выражение примет вид $\sqrt{3}\sqrt{p} - \sqrt{p}\sqrt{p}$. Выносим общий множитель $\sqrt{p}$ за скобки.
$\sqrt{3p} - p = \sqrt{p}(\sqrt{3} - \sqrt{p})$.
Ответ: $\sqrt{p}(\sqrt{3} - \sqrt{p})$.

10) Чтобы разложить на множители $\sqrt{12} + \sqrt{32}$, сначала упростим корни.
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.
Выражение примет вид $2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}$. Теперь вынесем за скобки общий множитель 2.
$2\sqrt{3} + 4\sqrt{2} = 2(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})$.
Ответ: $2(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})$.