Страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

545. Разложите на множители выражение:

1) $15 - x^2$;

2) $49x^2 - 2$;

3) $36p - 64q$, если $p \ge 0, q \ge 0$;

4) $c - 100$, если $c \ge 0$;

5) $a - 8b\sqrt{a} + 16b^2$;

6) $m + 2\sqrt{mn} + n$, если $m \ge 0, n \ge 0$;

7) $a - 4\sqrt{a} + 4$;

8) $5 + \sqrt{5}$;

9) $\sqrt{3p} - p$;

10) $\sqrt{12} + \sqrt{32}$.

1) Для разложения выражения $15 - x^2$ на множители, представим число 15 как квадратный корень из 15 в квадрате, то есть $15 = (\sqrt{15})^2$. Тогда выражение примет вид $(\sqrt{15})^2 - x^2$. Это формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = \sqrt{15}$ и $b = x$.
$15 - x^2 = (\sqrt{15})^2 - x^2 = (\sqrt{15} - x)(\sqrt{15} + x)$.
Ответ: $(\sqrt{15} - x)(\sqrt{15} + x)$.

2) В выражении $49x^2 - 2$ представим каждое слагаемое в виде квадрата. $49x^2 = (7x)^2$ и $2 = (\sqrt{2})^2$. Выражение становится $(7x)^2 - (\sqrt{2})^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 7x$ и $b = \sqrt{2}$.
$49x^2 - 2 = (7x - \sqrt{2})(7x + \sqrt{2})$.
Ответ: $(7x - \sqrt{2})(7x + \sqrt{2})$.

3) Сначала вынесем за скобки общий числовой множитель в выражении $36p - 64q$. Наибольший общий делитель чисел 36 и 64 равен 4. Получим $4(9p - 16q)$. Так как по условию $p \ge 0$ и $q \ge 0$, мы можем представить выражение в скобках как разность квадратов: $9p = (3\sqrt{p})^2$ и $16q = (8\sqrt{q})^2$.
$4(9p - 16q) = 4((3\sqrt{p})^2 - (8\sqrt{q})^2) = 4(3\sqrt{p} - 8\sqrt{q})(3\sqrt{p} + 8\sqrt{q})$.
Ответ: $4(3\sqrt{p} - 8\sqrt{q})(3\sqrt{p} + 8\sqrt{q})$.

4) В выражении $c - 100$ при условии $c \ge 0$ можно представить $c$ как $(\sqrt{c})^2$, а 100 как $10^2$. Получаем разность квадратов $(\sqrt{c})^2 - 10^2$. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = \sqrt{c}$ и $b = 10$.
$c - 100 = (\sqrt{c} - 10)(\sqrt{c} + 10)$.
Ответ: $(\sqrt{c} - 10)(\sqrt{c} + 10)$.

5) Выражение $a - 8b\sqrt{a} + 16b^2$ является полным квадратом. Заметим, что $a = (\sqrt{a})^2$ (так как $\sqrt{a}$ существует, то $a \ge 0$), а $16b^2 = (4b)^2$. Средний член $-8b\sqrt{a}$ равен $-2 \cdot \sqrt{a} \cdot 4b$. Таким образом, это соответствует формуле квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = \sqrt{a}$ и $y = 4b$.
$a - 8b\sqrt{a} + 16b^2 = (\sqrt{a} - 4b)^2$.
Ответ: $(\sqrt{a} - 4b)^2$.

6) Выражение $m + 2\sqrt{mn} + n$ при $m \ge 0, n \ge 0$ можно представить в виде полного квадрата. Так как $m = (\sqrt{m})^2$, $n = (\sqrt{n})^2$, а $2\sqrt{mn} = 2\sqrt{m}\sqrt{n}$, выражение принимает вид $(\sqrt{m})^2 + 2\sqrt{m}\sqrt{n} + (\sqrt{n})^2$. Это формула квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x = \sqrt{m}$ и $y = \sqrt{n}$.
$m + 2\sqrt{mn} + n = (\sqrt{m} + \sqrt{n})^2$.
Ответ: $(\sqrt{m} + \sqrt{n})^2$.

7) Выражение $a - 4\sqrt{a} + 4$ является полным квадратом. Представим $a = (\sqrt{a})^2$ (подразумевается, что $a \ge 0$) и $4 = 2^2$. Средний член $-4\sqrt{a}$ равен $-2 \cdot \sqrt{a} \cdot 2$. Это соответствует формуле квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$, где $x = \sqrt{a}$ и $y = 2$.
$a - 4\sqrt{a} + 4 = (\sqrt{a} - 2)^2$.
Ответ: $(\sqrt{a} - 2)^2$.

8) Чтобы разложить на множители выражение $5 + \sqrt{5}$, вынесем общий множитель. Представим $5$ как $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$. Тогда выражение будет иметь вид $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5}$. Выносим общий множитель $\sqrt{5}$ за скобки.
$5 + \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)$.
Ответ: $\sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)$.

9) Для разложения на множители выражения $\sqrt{3p} - p$ найдем общий множитель. Подразумевается, что $p \ge 0$. Представим $\sqrt{3p}$ как $\sqrt{3}\sqrt{p}$, а $p$ как $\sqrt{p}\sqrt{p}$. Выражение примет вид $\sqrt{3}\sqrt{p} - \sqrt{p}\sqrt{p}$. Выносим общий множитель $\sqrt{p}$ за скобки.
$\sqrt{3p} - p = \sqrt{p}(\sqrt{3} - \sqrt{p})$.
Ответ: $\sqrt{p}(\sqrt{3} - \sqrt{p})$.

10) Чтобы разложить на множители $\sqrt{12} + \sqrt{32}$, сначала упростим корни.
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.
Выражение примет вид $2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}$. Теперь вынесем за скобки общий множитель 2.
$2\sqrt{3} + 4\sqrt{2} = 2(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})$.
Ответ: $2(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})$.

546. Сократите дробь:

1) $\frac{a^2 - 7}{a + \sqrt{7}};$

2) $\frac{\sqrt{3} - b}{3 - b^2};$

3) $\frac{c - 9}{\sqrt{c} - 3};$

4) $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}};$

5) $\frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{25a - 49b};$

6) $\frac{100a^2 - 9b}{10a + 3\sqrt{b}};$

7) $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{6} - \sqrt{3}};$

8) $\frac{\sqrt{35} + \sqrt{10}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}};$

9) $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{5 - \sqrt{10}};$

10) $\frac{13 - \sqrt{13}}{\sqrt{13}};$

11) $\frac{a + 2\sqrt{ab} + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}};$

12) $\frac{4b^2 - 4b\sqrt{c} + c}{2b - \sqrt{c}}.$

1)

Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - 7}{a + \sqrt{7}}$, представим числитель как разность квадратов, учитывая, что $7 = (\sqrt{7})^2$.

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$a^2 - 7 = a^2 - (\sqrt{7})^2 = (a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7})$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь и выполним сокращение:

$\frac{(a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7})}{a + \sqrt{7}} = a - \sqrt{7}$.

Ответ: $a - \sqrt{7}$

2)

Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{3} - b}{3 - b^2}$, представим знаменатель как разность квадратов, где $3 = (\sqrt{3})^2$.

Используем формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$3 - b^2 = (\sqrt{3})^2 - b^2 = (\sqrt{3} - b)(\sqrt{3} + b)$.

Подставим разложенный знаменатель в дробь и сократим одинаковые множители:

$\frac{\sqrt{3} - b}{(\sqrt{3} - b)(\sqrt{3} + b)} = \frac{1}{\sqrt{3} + b}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3} + b}$

3)

В дроби $\frac{c - 9}{\sqrt{c} - 3}$ представим числитель $c-9$ как разность квадратов. Так как $c = (\sqrt{c})^2$ и $9 = 3^2$, получаем:

$c - 9 = (\sqrt{c})^2 - 3^2 = (\sqrt{c} - 3)(\sqrt{c} + 3)$.

Теперь сократим дробь:

$\frac{(\sqrt{c} - 3)(\sqrt{c} + 3)}{\sqrt{c} - 3} = \sqrt{c} + 3$.

Ответ: $\sqrt{c} + 3$

4)

Для сокращения дроби $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ используем формулу разности квадратов для числителя, представив $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$.

$a - b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$.

Ответ: $\sqrt{a} - \sqrt{b}$

5)

В дроби $\frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{25a - 49b}$ разложим знаменатель на множители как разность квадратов.

$25a - 49b = (5\sqrt{a})^2 - (7\sqrt{b})^2 = (5\sqrt{a} - 7\sqrt{b})(5\sqrt{a} + 7\sqrt{b})$.

Теперь сократим дробь:

$\frac{5\sqrt{a} - 7\sqrt{b}}{(5\sqrt{a} - 7\sqrt{b})(5\sqrt{a} + 7\sqrt{b})} = \frac{1}{5\sqrt{a} + 7\sqrt{b}}$.

Ответ: $\frac{1}{5\sqrt{a} + 7\sqrt{b}}$

6)

Для сокращения дроби $\frac{100a^2 - 9b}{10a + 3\sqrt{b}}$ разложим числитель на множители по формуле разности квадратов.

$100a^2 - 9b = (10a)^2 - (3\sqrt{b})^2 = (10a - 3\sqrt{b})(10a + 3\sqrt{b})$.

Подставим в дробь и выполним сокращение:

$\frac{(10a - 3\sqrt{b})(10a + 3\sqrt{b})}{10a + 3\sqrt{b}} = 10a - 3\sqrt{b}$.

Ответ: $10a - 3\sqrt{b}$

7)

В дроби $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}$ вынесем общий множитель в знаменателе.

$\sqrt{6} - \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} - \sqrt{3} = \sqrt{2}\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)$.

Подставим преобразованный знаменатель в дробь и сократим:

$\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

8)

В дроби $\frac{\sqrt{35} + \sqrt{10}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}}$ вынесем общий множитель в числителе.

$\sqrt{35} + \sqrt{10} = \sqrt{5 \cdot 7} + \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{5}\sqrt{7} + \sqrt{5}\sqrt{2} = \sqrt{5}(\sqrt{7} + \sqrt{2})$.

Сократим дробь:

$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

9)

Для сокращения дроби $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{5 - \sqrt{10}}$ вынесем общие множители в числителе и знаменателе.

В числителе: $\sqrt{15} - \sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 5} - \sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.

В знаменателе: $5 - \sqrt{10} = (\sqrt{5})^2 - \sqrt{5 \cdot 2} = \sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})$.

Подставим преобразованные выражения в дробь и сократим:

$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{\sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{5}$

10)

Чтобы сократить дробь $\frac{13 - \sqrt{13}}{\sqrt{13}}$, вынесем в числителе за скобки множитель $\sqrt{13}$.

$13 - \sqrt{13} = (\sqrt{13})^2 - \sqrt{13} = \sqrt{13}(\sqrt{13} - 1)$.

Сократим дробь:

$\frac{\sqrt{13}(\sqrt{13} - 1)}{\sqrt{13}} = \sqrt{13} - 1$.

Ответ: $\sqrt{13} - 1$

11)

В дроби $\frac{a + 2\sqrt{ab} + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ числитель представляет собой полный квадрат суммы.

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$a + 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$.

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Ответ: $\sqrt{a} + \sqrt{b}$

12)

В дроби $\frac{4b^2 - 4b\sqrt{c} + c}{2b - \sqrt{c}}$ числитель является полным квадратом разности.

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$4b^2 - 4b\sqrt{c} + c = (2b)^2 - 2(2b)(\sqrt{c}) + (\sqrt{c})^2 = (2b - \sqrt{c})^2$.

Теперь сократим дробь:

$\frac{(2b - \sqrt{c})^2}{2b - \sqrt{c}} = 2b - \sqrt{c}$.

Ответ: $2b - \sqrt{c}$

547. Сократите дробь:

1) $ \frac{x-25}{\sqrt{x}-5}$;

2) $ \frac{\sqrt{a}+2}{a-4}$;

3) $ \frac{a-3}{\sqrt{a}+\sqrt{3}}$;

4) $ \frac{\sqrt{10}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$;

5) $ \frac{23-\sqrt{23}}{\sqrt{23}}$;

6) $ \frac{\sqrt{24}-\sqrt{28}}{\sqrt{54}-\sqrt{63}}$;

7) $ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-2\sqrt{ab}+b}$;

8) $ \frac{b-8\sqrt{b}+16}{\sqrt{b}-4}$.

1) Для сокращения дроби $\frac{x - 25}{\sqrt{x} - 5}$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Представим числитель $x - 25$ в виде разности квадратов, где $x = (\sqrt{x})^2$ и $25 = 5^2$.
$x - 25 = (\sqrt{x})^2 - 5^2 = (\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)$.
Теперь подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)}{\sqrt{x} - 5}$.
Сократим одинаковые множители $(\sqrt{x} - 5)$ в числителе и знаменателе.
Получаем: $\sqrt{x} + 5$.
Ответ: $\sqrt{x} + 5$.

2) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt{a} + 2}{a - 4}$ используем формулу разности квадратов для знаменателя.
Представим знаменатель $a - 4$ в виде разности квадратов: $a = (\sqrt{a})^2$ и $4 = 2^2$.
$a - 4 = (\sqrt{a})^2 - 2^2 = (\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)$.
Подставим это в дробь:
$\frac{\sqrt{a} + 2}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{a} + 2)$ в числителе и знаменателе.
Получаем: $\frac{1}{\sqrt{a} - 2}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a} - 2}$.

3) Для сокращения дроби $\frac{a - 3}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$ представим числитель $a-3$ как разность квадратов.
$a = (\sqrt{a})^2$ и $3 = (\sqrt{3})^2$.
$a - 3 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{3})(\sqrt{a} + \sqrt{3})$.
Подставим в дробь:
$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{3})(\sqrt{a} + \sqrt{3})}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{a} + \sqrt{3})$.
Получаем: $\sqrt{a} - \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{a} - \sqrt{3}$.

4) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}}$.
Разложим $\sqrt{10}$ на множители: $\sqrt{10} = \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}$.
Подставим в числитель: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{5}$ за скобки в числителе: $\sqrt{5}(\sqrt{2} + 1)$.
Дробь примет вид:
$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{5}}$.
Сократим $\sqrt{5}$ в числителе и знаменателе.
Получаем: $\sqrt{2} + 1$.
Ответ: $\sqrt{2} + 1$.

5) Рассмотрим дробь $\frac{23 - \sqrt{23}}{\sqrt{23}}$.
Представим число $23$ в числителе как $(\sqrt{23})^2$.
Тогда числитель равен $(\sqrt{23})^2 - \sqrt{23}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{23}$ за скобки: $\sqrt{23}(\sqrt{23} - 1)$.
Дробь примет вид:
$\frac{\sqrt{23}(\sqrt{23} - 1)}{\sqrt{23}}$.
Сократим $\sqrt{23}$.
Получаем: $\sqrt{23} - 1$.
Ответ: $\sqrt{23} - 1$.

6) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{24} - \sqrt{28}}{\sqrt{54} - \sqrt{63}}$.
Упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня.
Числитель:
$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
Знаменатель:
$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$.
$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$.
Подставим упрощенные значения в дробь:
$\frac{2\sqrt{6} - 2\sqrt{7}}{3\sqrt{6} - 3\sqrt{7}}$.
Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:
$\frac{2(\sqrt{6} - \sqrt{7})}{3(\sqrt{6} - \sqrt{7})}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{6} - \sqrt{7})$.
Получаем: $\frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

7) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - 2\sqrt{ab} + b}$.
Знаменатель $a - 2\sqrt{ab} + b$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Пусть $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{b}$. Тогда $x^2 = a$, $y^2 = b$, и $2xy = 2\sqrt{a}\sqrt{b} = 2\sqrt{ab}$.
Следовательно, $a - 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$.
Подставим это в дробь:
$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$.
Получаем: $\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$.

8) Рассмотрим дробь $\frac{b - 8\sqrt{b} + 16}{\sqrt{b} - 4}$.
Числитель $b - 8\sqrt{b} + 16$ является полным квадратом разности. Используем формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Пусть $x = \sqrt{b}$ и $y = 4$. Тогда $x^2 = b$, $y^2 = 16$, и $2xy = 2 \cdot \sqrt{b} \cdot 4 = 8\sqrt{b}$.
Следовательно, $b - 8\sqrt{b} + 16 = (\sqrt{b} - 4)^2$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(\sqrt{b} - 4)^2}{\sqrt{b} - 4}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{b} - 4)$.
Получаем: $\sqrt{b} - 4$.
Ответ: $\sqrt{b} - 4$.

548. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{3a^2}$, если $a \ge 0$;

2) $\sqrt{5b^2}$, если $b \le 0$;

3) $\sqrt{12a^4}$;

4) $\sqrt{c^5}$.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{3a^2}$, воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (для $x \ge 0, y \ge 0$) и определением квадратного корня из квадрата $\sqrt{k^2}=|k|$.

$\sqrt{3a^2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{a^2} = \sqrt{3} \cdot |a|$.

По условию задачи дано, что $a \ge 0$. Для любого неотрицательного числа его модуль равен самому числу, то есть $|a| = a$.

Следовательно, выражение принимает вид: $\sqrt{3} \cdot a = a\sqrt{3}$.

Ответ: $a\sqrt{3}$.

2) Для выражения $\sqrt{5b^2}$ применяем тот же подход.

$\sqrt{5b^2} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{b^2} = \sqrt{5} \cdot |b|$.

По условию $b \le 0$. Модуль неположительного числа равен противоположному ему числу. Таким образом, если $b \le 0$, то $|b| = -b$.

Например, если $b = -2$, то $|-2| = 2$ и $-b = -(-2) = 2$.

Подставляем это в наше выражение: $\sqrt{5} \cdot (-b) = -b\sqrt{5}$.

Ответ: $-b\sqrt{5}$.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt{12a^4}$. Разложим подкоренное выражение на множители, выделив те, из которых можно извлечь квадратный корень.

Число 12 можно представить как произведение $4 \cdot 3$, где 4 является полным квадратом.

Степень $a^4$ можно представить как $(a^2)^2$.

Подставляем разложенные множители обратно под корень:

$\sqrt{12a^4} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot (a^2)^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{3}$.

Извлекаем корни:

$\sqrt{4} = 2$.

$\sqrt{(a^2)^2} = |a^2|$. Так как квадрат любого действительного числа $a$ всегда неотрицателен ($a^2 \ge 0$), то $|a^2| = a^2$.

Собираем полученные множители: $2 \cdot a^2 \cdot \sqrt{3} = 2a^2\sqrt{3}$.

Ответ: $2a^2\sqrt{3}$.

4) В выражении $\sqrt{c^5}$ необходимо вынести множитель из-под знака корня. Для этого представим $c^5$ в виде произведения множителей, один из которых имеет наибольшую возможную четную степень.

Степень 5 нечетная, поэтому запишем $c^5$ как $c^4 \cdot c$. Выражение $c^4$ является полным квадратом, так как $c^4 = (c^2)^2$.

$\sqrt{c^5} = \sqrt{c^4 \cdot c}$.

Следует отметить, что для существования квадратного корня в области действительных чисел подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $c^5 \ge 0$, что выполняется при $c \ge 0$.

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{c^4 \cdot c} = \sqrt{c^4} \cdot \sqrt{c}$.

Извлекаем корень из $c^4$: $\sqrt{c^4} = \sqrt{(c^2)^2} = c^2$ (так как $c^2 \ge 0$).

Таким образом, окончательный результат: $c^2\sqrt{c}$.

Ответ: $c^2\sqrt{c}$.