Страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

536. Упростите выражение:

1) $\sqrt{2}(\sqrt{50}+\sqrt{8});$

2) $(\sqrt{3}-\sqrt{12})\cdot\sqrt{3};$

3) $(3\sqrt{5}-4\sqrt{3})\cdot\sqrt{5};$

4) $2\sqrt{2}(3\sqrt{18}-\frac{1}{4}\sqrt{2}+\sqrt{32}).$

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{2}(\sqrt{50} + \sqrt{8})$, применим распределительный закон умножения. Умножим $\sqrt{2}$ на каждый член в скобках:
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{50} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
Используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, получаем:
$\sqrt{2 \cdot 50} + \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{100} + \sqrt{16}$
Теперь извлечем квадратные корни:
$10 + 4 = 14$
Ответ: 14

2) Чтобы упростить выражение $(\sqrt{3} - \sqrt{12}) \cdot \sqrt{3}$, применим распределительный закон умножения. Умножим $\sqrt{3}$ на каждый член в скобках:
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$
Используя свойства $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ и $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, получаем:
$3 - \sqrt{12 \cdot 3} = 3 - \sqrt{36}$
Извлечем квадратный корень:
$3 - 6 = -3$
Ответ: -3

3) Чтобы упростить выражение $(3\sqrt{5} - 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{5}$, применим распределительный закон умножения. Умножим $\sqrt{5}$ на каждый член в скобках:
$3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$
Используя свойства корней, получаем:
$3 \cdot (\sqrt{5})^2 - 4\sqrt{3 \cdot 5} = 3 \cdot 5 - 4\sqrt{15}$
Выполним умножение:
$15 - 4\sqrt{15}$
Так как 15 не является полным квадратом, дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $15 - 4\sqrt{15}$

4) Для упрощения выражения $2\sqrt{2}(3\sqrt{18} - \frac{1}{4}\sqrt{2} + \sqrt{32})$ сначала упростим корни внутри скобок, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
Подставим упрощенные выражения обратно в скобки:
$2\sqrt{2}(3 \cdot 3\sqrt{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}(9\sqrt{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2} + 4\sqrt{2})$
Теперь приведем подобные слагаемые внутри скобок:
$9\sqrt{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = (9 - \frac{1}{4} + 4)\sqrt{2} = (13 - \frac{1}{4})\sqrt{2} = (\frac{52-1}{4})\sqrt{2} = \frac{51}{4}\sqrt{2}$
Теперь умножим результат на множитель перед скобками $2\sqrt{2}$:
$2\sqrt{2} \cdot \frac{51}{4}\sqrt{2} = (2 \cdot \frac{51}{4}) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = \frac{51}{2} \cdot 2 = 51$
Ответ: 51

537. Упростите выражение:

1) $\sqrt{7}(\sqrt{7}-\sqrt{28});$

2) $(\sqrt{18}+\sqrt{72})\cdot \sqrt{2};$

3) $(4\sqrt{3}-\sqrt{75}+4)\cdot 3\sqrt{3};$

4) $(\sqrt{600}+\sqrt{6}-\sqrt{24})\cdot \sqrt{6}.$

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{7}(\sqrt{7} - \sqrt{28})$, сначала упростим член $\sqrt{28}$. Мы можем вынести множитель из-под знака корня: $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4}\sqrt{7} = 2\sqrt{7}$. Подставим это обратно в исходное выражение: $\sqrt{7}(\sqrt{7} - 2\sqrt{7})$. Теперь упростим выражение в скобках: $\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = (1-2)\sqrt{7} = -\sqrt{7}$. Наконец, выполним умножение: $\sqrt{7} \cdot (-\sqrt{7}) = -(\sqrt{7})^2 = -7$. Ответ: -7

2) Рассмотрим выражение $(\sqrt{18} + \sqrt{72}) \cdot \sqrt{2}$. Сначала упростим корни в скобках. Для $\sqrt{18}$: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9}\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$. Для $\sqrt{72}$: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36}\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. Подставим упрощенные корни в выражение: $(3\sqrt{2} + 6\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$. Сложим члены в скобках: $3\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = (3+6)\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$. Теперь умножим результат на $\sqrt{2}$: $9\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 9 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$. Ответ: 18

3) Упростим выражение $(4\sqrt{3} - \sqrt{75} + 4) \cdot 3\sqrt{3}$. Начнем с упрощения $\sqrt{75}$: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25}\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$. Подставим это значение в выражение: $(4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + 4) \cdot 3\sqrt{3}$. Упростим выражение в скобках: $4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + 4 = (4-5)\sqrt{3} + 4 = -\sqrt{3} + 4$. Теперь умножим полученное выражение на $3\sqrt{3}$: $(4 - \sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{3}$. Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения: $4 \cdot 3\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3} - 3 \cdot (\sqrt{3})^2 = 12\sqrt{3} - 3 \cdot 3 = 12\sqrt{3} - 9$. Ответ: $12\sqrt{3} - 9$

4) Упростим выражение $(\sqrt{600} + \sqrt{6} - \sqrt{24}) \cdot \sqrt{6}$. Сначала упростим корни в скобках, где это возможно. Для $\sqrt{600}$: $\sqrt{600} = \sqrt{100 \cdot 6} = \sqrt{100}\sqrt{6} = 10\sqrt{6}$. Для $\sqrt{24}$: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4}\sqrt{6} = 2\sqrt{6}$. Подставим упрощенные значения в исходное выражение: $(10\sqrt{6} + \sqrt{6} - 2\sqrt{6}) \cdot \sqrt{6}$. Сложим и вычтем члены в скобках: $10\sqrt{6} + \sqrt{6} - 2\sqrt{6} = (10+1-2)\sqrt{6} = 9\sqrt{6}$. Наконец, умножим результат на $\sqrt{6}$: $9\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 9 \cdot (\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$. Ответ: 54

538. Выполните умножение:

1) $(2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1);$

2) $(\sqrt{2} + \sqrt{5})(2\sqrt{2} - \sqrt{5});$

3) $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b});$

4) $(\sqrt{b} - \sqrt{c})(\sqrt{b} + \sqrt{c});$

5) $(4 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3});$

6) $(y - \sqrt{7})(y + \sqrt{7});$

7) $(4\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} + 4\sqrt{2});$

8) $(m + \sqrt{n})^2;$

9) $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2;$

10) $(2 - 3\sqrt{3})^2.$

1) Для выполнения умножения $(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)$ используем правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго):
$(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}+1) = 2 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot 1 - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3} + 2 - 3 - \sqrt{3}$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$(2\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (2 - 3) = \sqrt{3} - 1$
Ответ: $\sqrt{3}-1$

2) Раскроем скобки в выражении $(\sqrt{2}+\sqrt{5})(2\sqrt{2}-\sqrt{5})$:
$(\sqrt{2}+\sqrt{5})(2\sqrt{2}-\sqrt{5}) = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$
$= 2 \cdot (\sqrt{2})^2 - \sqrt{10} + 2\sqrt{10} - (\sqrt{5})^2 = 2 \cdot 2 - \sqrt{10} + 2\sqrt{10} - 5 = 4 - 5 + \sqrt{10}$
Приведем подобные слагаемые:
$4 - 5 + \sqrt{10} = -1 + \sqrt{10}$
Ответ: $\sqrt{10}-1$

3) В выражении $(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})$ применяется формула разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x=a$ и $y=\sqrt{b}$:
$(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b$
Ответ: $a^2-b$

4) В выражении $(\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})$ также используется формула разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=\sqrt{b}$ и $y=\sqrt{c}$:
$(\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c}) = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{c})^2 = b - c$
Ответ: $b-c$

5) В выражении $(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3})$ снова применяем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x=4$ и $y=\sqrt{3}$:
$(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 16 - 3 = 13$
Ответ: $13$

6) В выражении $(y-\sqrt{7})(y+\sqrt{7})$ применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=y$ и $y=\sqrt{7}$:
$(y-\sqrt{7})(y+\sqrt{7}) = y^2 - (\sqrt{7})^2 = y^2 - 7$
Ответ: $y^2-7$

7) Переставим слагаемые во второй скобке, чтобы увидеть формулу разности квадратов:
$(4\sqrt{2}-2\sqrt{3})(2\sqrt{3}+4\sqrt{2}) = (4\sqrt{2}-2\sqrt{3})(4\sqrt{2}+2\sqrt{3})$
Применяем формулу $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=4\sqrt{2}$ и $y=2\sqrt{3}$:
$(4\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = (4^2 \cdot (\sqrt{2})^2) - (2^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = (16 \cdot 2) - (4 \cdot 3) = 32 - 12 = 20$
Ответ: $20$

8) Для выражения $(m+\sqrt{n})^2$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, где $x=m$ и $y=\sqrt{n}$:
$(m+\sqrt{n})^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot \sqrt{n} + (\sqrt{n})^2 = m^2 + 2m\sqrt{n} + n$
Ответ: $m^2+2m\sqrt{n}+n$

9) Для выражения $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$ используем формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$, где $x=\sqrt{a}$ и $y=\sqrt{b}$:
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b$
Ответ: $a+b-2\sqrt{ab}$

10) Для выражения $(2-3\sqrt{3})^2$ используем формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$, где $x=2$ и $y=3\sqrt{3}$:
$(2-3\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3\sqrt{3} + (3\sqrt{3})^2 = 4 - 12\sqrt{3} + (3^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = 4 - 12\sqrt{3} + (9 \cdot 3) = 4 - 12\sqrt{3} + 27$
Приведем подобные слагаемые:
$4+27 - 12\sqrt{3} = 31 - 12\sqrt{3}$
Ответ: $31-12\sqrt{3}$

539. Выполните умножение:

1) $(\sqrt{7} + 3)(3\sqrt{7} - 1)$;

2) $(4\sqrt{2} - \sqrt{3})(2\sqrt{2} + 5\sqrt{3})$;

3) $(\sqrt{p} - q)(\sqrt{p} + q)$;

4) $(6 - \sqrt{13})(6 + \sqrt{13})$;

5) $(\sqrt{5} - x)(\sqrt{5} + x)$;

6) $(\sqrt{19} + \sqrt{17})(\sqrt{19} - \sqrt{17})$;

7) $(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2$;

8) $(3 - 2\sqrt{15})^2$.

1) Раскроем скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй:
$(\sqrt{7} + 3)(3\sqrt{7} - 1) = \sqrt{7} \cdot 3\sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot 1 + 3 \cdot 3\sqrt{7} - 3 \cdot 1 = 3 \cdot (\sqrt{7})^2 - \sqrt{7} + 9\sqrt{7} - 3 = 3 \cdot 7 + 8\sqrt{7} - 3 = 21 + 8\sqrt{7} - 3 = 18 + 8\sqrt{7}$.
Ответ: $18 + 8\sqrt{7}$.

2) Раскроем скобки по правилу умножения многочленов:
$(4\sqrt{2} - \sqrt{3})(2\sqrt{2} + 5\sqrt{3}) = 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} - \sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} = 4 \cdot 2 \cdot (\sqrt{2})^2 + 20\sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 5(\sqrt{3})^2 = 8 \cdot 2 + 18\sqrt{6} - 5 \cdot 3 = 16 + 18\sqrt{6} - 15 = 1 + 18\sqrt{6}$.
Ответ: $1 + 18\sqrt{6}$.

3) Здесь используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a=\sqrt{p}$, $b=q$.
$(\sqrt{p} - q)(\sqrt{p} + q) = (\sqrt{p})^2 - q^2 = p - q^2$.
Ответ: $p - q^2$.

4) Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=6$, $b=\sqrt{13}$.
$(6 - \sqrt{13})(6 + \sqrt{13}) = 6^2 - (\sqrt{13})^2 = 36 - 13 = 23$.
Ответ: $23$.

5) Снова используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=\sqrt{5}$, $b=x$.
$(\sqrt{5} - x)(\sqrt{5} + x) = (\sqrt{5})^2 - x^2 = 5 - x^2$.
Ответ: $5 - x^2$.

6) И снова формула разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=\sqrt{19}$, $b=\sqrt{17}$.
$(\sqrt{19} + \sqrt{17})(\sqrt{19} - \sqrt{17}) = (\sqrt{19})^2 - (\sqrt{17})^2 = 19 - 17 = 2$.
Ответ: $2$.

7) Используем формулу "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=\sqrt{6}$, $b=\sqrt{2}$.
$(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 6 + 2\sqrt{12} + 2 = 8 + 2\sqrt{4 \cdot 3} = 8 + 2 \cdot 2\sqrt{3} = 8 + 4\sqrt{3}$.
Ответ: $8 + 4\sqrt{3}$.

8) Используем формулу "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=3$, $b=2\sqrt{15}$.
$(3 - 2\sqrt{15})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{15} + (2\sqrt{15})^2 = 9 - 12\sqrt{15} + 4 \cdot (\sqrt{15})^2 = 9 - 12\sqrt{15} + 4 \cdot 15 = 9 - 12\sqrt{15} + 60 = 69 - 12\sqrt{15}$.
Ответ: $69 - 12\sqrt{15}$.

540. Чему равно значение выражения:

1) $(2 + \sqrt{7})^2 - 4\sqrt{7};$

2) $(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2 + 6\sqrt{2}?$

1) Найдем значение выражения $(2+\sqrt{7})^2 - 4\sqrt{7}$.

Для начала раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = 2$, а $b = \sqrt{7}$.

$(2+\sqrt{7})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 4 + 4\sqrt{7} + 7 = 11 + 4\sqrt{7}$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(11 + 4\sqrt{7}) - 4\sqrt{7}$.

Выполним вычитание:

$11 + 4\sqrt{7} - 4\sqrt{7} = 11$.

Слагаемые $4\sqrt{7}$ и $-4\sqrt{7}$ взаимно уничтожаются.

Ответ: 11

2) Найдем значение выражения $(\sqrt{6}-\sqrt{3})^2 + 6\sqrt{2}$.

Сначала раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a = \sqrt{6}$, а $b = \sqrt{3}$.

$(\sqrt{6}-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$.

Упростим полученное выражение:

$(\sqrt{6})^2 = 6$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

$2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{6 \cdot 3} = 2\sqrt{18}$.

Разложим подкоренное выражение $18$ на множители, чтобы вынести множитель из-под знака корня: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Тогда $2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

Собираем все вместе:

$(\sqrt{6}-\sqrt{3})^2 = 6 - 6\sqrt{2} + 3 = 9 - 6\sqrt{2}$.

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$(9 - 6\sqrt{2}) + 6\sqrt{2}$.

Выполним сложение:

$9 - 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 9$.

Слагаемые $-6\sqrt{2}$ и $6\sqrt{2}$ взаимно уничтожаются.

Ответ: 9

541. Найдите значение выражения:

1) $(\text{3}+\sqrt{5})^{\text{2}} - \text{6}\sqrt{5};$

2) $(\sqrt{\text{12}}-\text{2}\sqrt{\text{2}})^{\text{2}} + \text{8}\sqrt{6}.$

1) $(3+\sqrt{5})^2 - 6\sqrt{5}$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

В нашем случае $a=3$ и $b=\sqrt{5}$.

Раскроем скобки в выражении $(3+\sqrt{5})^2$:

$(3+\sqrt{5})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5$.

Сложим числовые члены: $9 + 5 = 14$.

Таким образом, $(3+\sqrt{5})^2 = 14 + 6\sqrt{5}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(14 + 6\sqrt{5}) - 6\sqrt{5}$.

Выполним вычитание. Слагаемые $6\sqrt{5}$ и $-6\sqrt{5}$ взаимно уничтожаются:

$14 + 6\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 14$.

Ответ: 14

2) $(\sqrt{12}-2\sqrt{2})^2 + 8\sqrt{6}$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

В нашем случае $a=\sqrt{12}$ и $b=2\sqrt{2}$.

Раскроем скобки в выражении $(\sqrt{12}-2\sqrt{2})^2$:

$(\sqrt{12}-2\sqrt{2})^2 = (\sqrt{12})^2 - 2 \cdot \sqrt{12} \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2$.

Вычислим каждый член по отдельности:

$(\sqrt{12})^2 = 12$.

$2 \cdot \sqrt{12} \cdot 2\sqrt{2} = 4 \cdot \sqrt{12 \cdot 2} = 4\sqrt{24}$. Упростим корень: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$. Тогда $4\sqrt{24} = 4 \cdot 2\sqrt{6} = 8\sqrt{6}$.

$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Подставим вычисленные значения обратно в раскрытое выражение:

$12 - 8\sqrt{6} + 8$.

Сложим числовые члены: $12 + 8 = 20$.

Таким образом, $(\sqrt{12}-2\sqrt{2})^2 = 20 - 8\sqrt{6}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(20 - 8\sqrt{6}) + 8\sqrt{6}$.

Выполним сложение. Слагаемые $-8\sqrt{6}$ и $8\sqrt{6}$ взаимно уничтожаются:

$20 - 8\sqrt{6} + 8\sqrt{6} = 20$.

Ответ: 20

542. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{4}{\sqrt{2}}$;

2) $\frac{12}{\sqrt{6}}$;

3) $\frac{18}{\sqrt{5}}$;

4) $\frac{m}{\sqrt{n}}$;

5) $\frac{a}{b\sqrt{b}}$;

6) $\frac{5}{\sqrt{15}}$;

7) $\frac{7}{\sqrt{7}}$;

8) $\frac{24}{5\sqrt{3}}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{4}{\sqrt{2}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на $\sqrt{2}$.

$\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{4\sqrt{2}}{2}$

Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$

2) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{12}{\sqrt{6}}$ на $\sqrt{6}$, чтобы убрать корень из знаменателя.

$\frac{12}{\sqrt{6}} = \frac{12 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{6}$

Сократим дробь на 6:

$\frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}$

Ответ: $2\sqrt{6}$

3) Для дроби $\frac{18}{\sqrt{5}}$ выполним умножение числителя и знаменателя на $\sqrt{5}$.

$\frac{18}{\sqrt{5}} = \frac{18 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{18\sqrt{5}}{5}$

Данная дробь не сокращается, так как у 18 и 5 нет общих делителей.

Ответ: $\frac{18\sqrt{5}}{5}$

4) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{m}{\sqrt{n}}$, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{n}$. Предполагается, что $n > 0$.

$\frac{m}{\sqrt{n}} = \frac{m \cdot \sqrt{n}}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n}} = \frac{m\sqrt{n}}{n}$

Ответ: $\frac{m\sqrt{n}}{n}$

5) В знаменателе дроби $\frac{a}{b\sqrt{b}}$ находится иррациональное выражение $\sqrt{b}$. Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{b}$. Предполагается, что $b > 0$.

$\frac{a}{b\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{b\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b \cdot (\sqrt{b})^2} = \frac{a\sqrt{b}}{b \cdot b} = \frac{a\sqrt{b}}{b^2}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{b}}{b^2}$

6) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{5}{\sqrt{15}}$ на $\sqrt{15}$.

$\frac{5}{\sqrt{15}} = \frac{5 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{5\sqrt{15}}{15}$

Сократим полученную дробь на 5:

$\frac{5\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{3}$

7) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{7}{\sqrt{7}}$ на $\sqrt{7}$.

$\frac{7}{\sqrt{7}} = \frac{7 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{7}}{7}$

Сократим дробь на 7:

$\frac{7\sqrt{7}}{7} = \sqrt{7}$

Ответ: $\sqrt{7}$

8) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{24}{5\sqrt{3}}$, умножим числитель и знаменатель на иррациональную часть знаменателя, то есть на $\sqrt{3}$.

$\frac{24}{5\sqrt{3}} = \frac{24 \cdot \sqrt{3}}{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{5 \cdot (\sqrt{3})^2} = \frac{24\sqrt{3}}{5 \cdot 3} = \frac{24\sqrt{3}}{15}$

Сократим дробный коэффициент $\frac{24}{15}$, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{24\sqrt{3}}{15} = \frac{8\sqrt{3}}{5}$

Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{5}$

543. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $ \frac{a}{\sqrt{11}} $;

2) $ \frac{18}{\sqrt{6}} $;

3) $ \frac{5}{\sqrt{10}} $;

4) $ \frac{13}{\sqrt{26}} $;

5) $ \frac{30}{\sqrt{15}} $;

6) $ \frac{2}{3\sqrt{x}} $.

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на такое выражение, которое сделает знаменатель рациональным числом. В данных примерах, где знаменатель содержит квадратный корень, мы будем умножать на этот же корень.

1)

Для дроби $\frac{a}{\sqrt{11}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{11}$:
$\frac{a}{\sqrt{11}} = \frac{a \cdot \sqrt{11}}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{11}} = \frac{a\sqrt{11}}{(\sqrt{11})^2} = \frac{a\sqrt{11}}{11}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{11}}{11}$.

2)

Для дроби $\frac{18}{\sqrt{6}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:
$\frac{18}{\sqrt{6}} = \frac{18 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{18\sqrt{6}}{6}$.
Сократим полученную дробь на 6:
$\frac{18\sqrt{6}}{6} = 3\sqrt{6}$.
Ответ: $3\sqrt{6}$.

3)

Для дроби $\frac{5}{\sqrt{10}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:
$\frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{10}$.
Сократим полученную дробь на 5:
$\frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

4)

Для дроби $\frac{13}{\sqrt{26}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{26}$:
$\frac{13}{\sqrt{26}} = \frac{13 \cdot \sqrt{26}}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{26}} = \frac{13\sqrt{26}}{26}$.
Сократим полученную дробь на 13:
$\frac{13\sqrt{26}}{26} = \frac{\sqrt{26}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{26}}{2}$.

5)

Для дроби $\frac{30}{\sqrt{15}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$:
$\frac{30}{\sqrt{15}} = \frac{30 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{30\sqrt{15}}{15}$.
Сократим полученную дробь на 15:
$\frac{30\sqrt{15}}{15} = 2\sqrt{15}$.
Ответ: $2\sqrt{15}$.

6)

Для дроби $\frac{2}{3\sqrt{x}}$ (при условии $x>0$) умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{x}$:
$\frac{2}{3\sqrt{x}} = \frac{2 \cdot \sqrt{x}}{3\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}}{3(\sqrt{x})^2} = \frac{2\sqrt{x}}{3x}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{x}}{3x}$.

544. Разложите на множители выражение:

1) $a^2 - 3$;

2) $4b^2 - 2$;

3) $5 - 6c^2$;

4) $a - 9$, если $a \ge 0$;

5) $m - n$, если $m \ge 0, n \ge 0$;

6) $16x - 25y$, если $x \ge 0, y \ge 0$;

7) $a - 2\sqrt{a} + 1$;

8) $4m - 28\sqrt{mn} + 49n$, если $m \ge 0, n \ge 0$;

9) $b + 6\sqrt{b} + 9$;

10) $3 + 2\sqrt{3c} + c$;

11) $2 + \sqrt{2}$;

12) $6\sqrt{7} - 7$;

13) $a - \sqrt{a}$;

14) $\sqrt{b} + \sqrt{3b}$;

15) $\sqrt{15} - \sqrt{5}$.

1) Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$. Представим число 3 как $(\sqrt{3})^2$.
$a^2 - 3 = a^2 - (\sqrt{3})^2 = (a - \sqrt{3})(a + \sqrt{3})$.
Ответ: $(a - \sqrt{3})(a + \sqrt{3})$.

2) Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки: $4b^2 - 2 = 2(2b^2 - 1)$.
Затем к выражению в скобках применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, представив $2b^2$ как $(\sqrt{2}b)^2$ и 1 как $1^2$.
$2(2b^2 - 1) = 2((\sqrt{2}b)^2 - 1^2) = 2(\sqrt{2}b - 1)(\sqrt{2}b + 1)$.
Ответ: $2(\sqrt{2}b - 1)(\sqrt{2}b + 1)$.

3) Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
Представим 5 как $(\sqrt{5})^2$ и $6c^2$ как $(\sqrt{6}c)^2$.
$5 - 6c^2 = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6}c)^2 = (\sqrt{5} - \sqrt{6}c)(\sqrt{5} + \sqrt{6}c)$.
Ответ: $(\sqrt{5} - \sqrt{6}c)(\sqrt{5} + \sqrt{6}c)$.

4) Так как $a \ge 0$, мы можем представить $a$ как $(\sqrt{a})^2$. Выражение принимает вид $(\sqrt{a})^2 - 9$.
Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = \sqrt{a}$ и $B = 3$.
$a - 9 = (\sqrt{a})^2 - 3^2 = (\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)$.
Ответ: $(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)$.

5) Поскольку $m \ge 0$ и $n \ge 0$, мы можем представить $m$ как $(\sqrt{m})^2$ и $n$ как $(\sqrt{n})^2$.
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = \sqrt{m}$ и $B = \sqrt{n}$.
$m - n = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})$.
Ответ: $(\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})$.

6) Учитывая, что $x \ge 0$ и $y \ge 0$, представим $x$ как $(\sqrt{x})^2$ и $y$ как $(\sqrt{y})^2$.
Выражение $16x - 25y$ можно записать как $16(\sqrt{x})^2 - 25(\sqrt{y})^2$, что равно $(4\sqrt{x})^2 - (5\sqrt{y})^2$.
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = 4\sqrt{x}$ и $B = 5\sqrt{y}$.
$16x - 25y = (4\sqrt{x} - 5\sqrt{y})(4\sqrt{x} + 5\sqrt{y})$.
Ответ: $(4\sqrt{x} - 5\sqrt{y})(4\sqrt{x} + 5\sqrt{y})$.

7) Данное выражение является полным квадратом. Используем формулу квадрата разности $A^2 - 2AB + B^2 = (A-B)^2$.
Представим $a$ как $(\sqrt{a})^2$ и 1 как $1^2$. Тогда $a - 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 1 + 1^2$.
Здесь $A = \sqrt{a}$ и $B = 1$, следовательно, выражение сворачивается в $(\sqrt{a} - 1)^2$.
Ответ: $(\sqrt{a} - 1)^2$.

8) Данное выражение является полным квадратом. Используем формулу квадрата разности $A^2 - 2AB + B^2 = (A-B)^2$.
Поскольку $m \ge 0, n \ge 0$, представим $4m$ как $(2\sqrt{m})^2$ и $49n$ как $(7\sqrt{n})^2$.
Средний член $28\sqrt{mn}$ можно записать как $2 \cdot (2\sqrt{m}) \cdot (7\sqrt{n})$.
Таким образом, $4m - 28\sqrt{mn} + 49n = (2\sqrt{m})^2 - 2 \cdot (2\sqrt{m}) \cdot (7\sqrt{n}) + (7\sqrt{n})^2$.
Это соответствует формуле с $A = 2\sqrt{m}$ и $B = 7\sqrt{n}$.
Ответ: $(2\sqrt{m} - 7\sqrt{n})^2$.

9) Данное выражение является полным квадратом. Используем формулу квадрата суммы $A^2 + 2AB + B^2 = (A+B)^2$.
Представим $b$ как $(\sqrt{b})^2$ и 9 как $3^2$.
Тогда выражение $b + 6\sqrt{b} + 9$ можно переписать как $(\sqrt{b})^2 + 2 \cdot \sqrt{b} \cdot 3 + 3^2$.
Здесь $A = \sqrt{b}$ и $B = 3$, следовательно, выражение сворачивается в $(\sqrt{b} + 3)^2$.
Ответ: $(\sqrt{b} + 3)^2$.

10) Данное выражение является полным квадратом. Используем формулу квадрата суммы $A^2 + 2AB + B^2 = (A+B)^2$.
Представим 3 как $(\sqrt{3})^2$ и $c$ как $(\sqrt{c})^2$ (подразумевается, что $c \ge 0$).
Средний член $2\sqrt{3c}$ можно записать как $2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{c}$.
Таким образом, $3 + 2\sqrt{3c} + c = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{c} + (\sqrt{c})^2$.
Это соответствует формуле с $A = \sqrt{3}$ и $B = \sqrt{c}$.
Ответ: $(\sqrt{3} + \sqrt{c})^2$.

11) Для разложения на множители представим число 2 как $(\sqrt{2})^2$.
Выражение примет вид $(\sqrt{2})^2 + \sqrt{2}$.
Теперь можно вынести общий множитель $\sqrt{2}$ за скобки.
$\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)$.
Ответ: $\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)$.

12) Для разложения на множители представим число 7 как $(\sqrt{7})^2$.
Выражение примет вид $6\sqrt{7} - (\sqrt{7})^2$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{7}$ за скобки.
$\sqrt{7}(6 - \sqrt{7})$.
Ответ: $\sqrt{7}(6 - \sqrt{7})$.

13) Для разложения на множители представим $a$ как $(\sqrt{a})^2$ (подразумевается, что $a \ge 0$).
Выражение примет вид $(\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{a}$ за скобки.
$\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)$.
Ответ: $\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)$.

14) Используем свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ для $\sqrt{3b}$ (подразумевается, что $b \ge 0$).
Выражение примет вид $\sqrt{b} + \sqrt{3}\sqrt{b}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{b}$ за скобки.
$\sqrt{b}(1 + \sqrt{3})$.
Ответ: $\sqrt{b}(1 + \sqrt{3})$.

15) Для разложения на множители представим $\sqrt{15}$ как $\sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{3}\sqrt{5}$.
Выражение примет вид $\sqrt{3}\sqrt{5} - \sqrt{5}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{5}$ за скобки.
$\sqrt{5}(\sqrt{3} - 1)$.
Ответ: $\sqrt{5}(\sqrt{3} - 1)$.