Номер 541, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 541, страница 138.

Условие.

541. Найдите значение выражения:

1) $(\text{3}+\sqrt{5})^{\text{2}} - \text{6}\sqrt{5};$

2) $(\sqrt{\text{12}}-\text{2}\sqrt{\text{2}})^{\text{2}} + \text{8}\sqrt{6}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(3+\sqrt{5})^2 - 6\sqrt{5}$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

В нашем случае $a=3$ и $b=\sqrt{5}$.

Раскроем скобки в выражении $(3+\sqrt{5})^2$:

$(3+\sqrt{5})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5$.

Сложим числовые члены: $9 + 5 = 14$.

Таким образом, $(3+\sqrt{5})^2 = 14 + 6\sqrt{5}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(14 + 6\sqrt{5}) - 6\sqrt{5}$.

Выполним вычитание. Слагаемые $6\sqrt{5}$ и $-6\sqrt{5}$ взаимно уничтожаются:

$14 + 6\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 14$.

Ответ: 14

2) $(\sqrt{12}-2\sqrt{2})^2 + 8\sqrt{6}$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

В нашем случае $a=\sqrt{12}$ и $b=2\sqrt{2}$.

Раскроем скобки в выражении $(\sqrt{12}-2\sqrt{2})^2$:

$(\sqrt{12}-2\sqrt{2})^2 = (\sqrt{12})^2 - 2 \cdot \sqrt{12} \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2$.

Вычислим каждый член по отдельности:

$(\sqrt{12})^2 = 12$.

$2 \cdot \sqrt{12} \cdot 2\sqrt{2} = 4 \cdot \sqrt{12 \cdot 2} = 4\sqrt{24}$. Упростим корень: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$. Тогда $4\sqrt{24} = 4 \cdot 2\sqrt{6} = 8\sqrt{6}$.

$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Подставим вычисленные значения обратно в раскрытое выражение:

$12 - 8\sqrt{6} + 8$.

Сложим числовые члены: $12 + 8 = 20$.

Таким образом, $(\sqrt{12}-2\sqrt{2})^2 = 20 - 8\sqrt{6}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(20 - 8\sqrt{6}) + 8\sqrt{6}$.

Выполним сложение. Слагаемые $-8\sqrt{6}$ и $8\sqrt{6}$ взаимно уничтожаются:

$20 - 8\sqrt{6} + 8\sqrt{6} = 20$.

Ответ: 20