Номер 544, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 544, страница 138.

Условие.

544. Разложите на множители выражение:

1) $a^2 - 3$;

2) $4b^2 - 2$;

3) $5 - 6c^2$;

4) $a - 9$, если $a \ge 0$;

5) $m - n$, если $m \ge 0, n \ge 0$;

6) $16x - 25y$, если $x \ge 0, y \ge 0$;

7) $a - 2\sqrt{a} + 1$;

8) $4m - 28\sqrt{mn} + 49n$, если $m \ge 0, n \ge 0$;

9) $b + 6\sqrt{b} + 9$;

10) $3 + 2\sqrt{3c} + c$;

11) $2 + \sqrt{2}$;

12) $6\sqrt{7} - 7$;

13) $a - \sqrt{a}$;

14) $\sqrt{b} + \sqrt{3b}$;

15) $\sqrt{15} - \sqrt{5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$. Представим число 3 как $(\sqrt{3})^2$.
$a^2 - 3 = a^2 - (\sqrt{3})^2 = (a - \sqrt{3})(a + \sqrt{3})$.
Ответ: $(a - \sqrt{3})(a + \sqrt{3})$.

2) Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки: $4b^2 - 2 = 2(2b^2 - 1)$.
Затем к выражению в скобках применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, представив $2b^2$ как $(\sqrt{2}b)^2$ и 1 как $1^2$.
$2(2b^2 - 1) = 2((\sqrt{2}b)^2 - 1^2) = 2(\sqrt{2}b - 1)(\sqrt{2}b + 1)$.
Ответ: $2(\sqrt{2}b - 1)(\sqrt{2}b + 1)$.

3) Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
Представим 5 как $(\sqrt{5})^2$ и $6c^2$ как $(\sqrt{6}c)^2$.
$5 - 6c^2 = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{6}c)^2 = (\sqrt{5} - \sqrt{6}c)(\sqrt{5} + \sqrt{6}c)$.
Ответ: $(\sqrt{5} - \sqrt{6}c)(\sqrt{5} + \sqrt{6}c)$.

4) Так как $a \ge 0$, мы можем представить $a$ как $(\sqrt{a})^2$. Выражение принимает вид $(\sqrt{a})^2 - 9$.
Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = \sqrt{a}$ и $B = 3$.
$a - 9 = (\sqrt{a})^2 - 3^2 = (\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)$.
Ответ: $(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)$.

5) Поскольку $m \ge 0$ и $n \ge 0$, мы можем представить $m$ как $(\sqrt{m})^2$ и $n$ как $(\sqrt{n})^2$.
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = \sqrt{m}$ и $B = \sqrt{n}$.
$m - n = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})$.
Ответ: $(\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})$.

6) Учитывая, что $x \ge 0$ и $y \ge 0$, представим $x$ как $(\sqrt{x})^2$ и $y$ как $(\sqrt{y})^2$.
Выражение $16x - 25y$ можно записать как $16(\sqrt{x})^2 - 25(\sqrt{y})^2$, что равно $(4\sqrt{x})^2 - (5\sqrt{y})^2$.
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = 4\sqrt{x}$ и $B = 5\sqrt{y}$.
$16x - 25y = (4\sqrt{x} - 5\sqrt{y})(4\sqrt{x} + 5\sqrt{y})$.
Ответ: $(4\sqrt{x} - 5\sqrt{y})(4\sqrt{x} + 5\sqrt{y})$.

7) Данное выражение является полным квадратом. Используем формулу квадрата разности $A^2 - 2AB + B^2 = (A-B)^2$.
Представим $a$ как $(\sqrt{a})^2$ и 1 как $1^2$. Тогда $a - 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 1 + 1^2$.
Здесь $A = \sqrt{a}$ и $B = 1$, следовательно, выражение сворачивается в $(\sqrt{a} - 1)^2$.
Ответ: $(\sqrt{a} - 1)^2$.

8) Данное выражение является полным квадратом. Используем формулу квадрата разности $A^2 - 2AB + B^2 = (A-B)^2$.
Поскольку $m \ge 0, n \ge 0$, представим $4m$ как $(2\sqrt{m})^2$ и $49n$ как $(7\sqrt{n})^2$.
Средний член $28\sqrt{mn}$ можно записать как $2 \cdot (2\sqrt{m}) \cdot (7\sqrt{n})$.
Таким образом, $4m - 28\sqrt{mn} + 49n = (2\sqrt{m})^2 - 2 \cdot (2\sqrt{m}) \cdot (7\sqrt{n}) + (7\sqrt{n})^2$.
Это соответствует формуле с $A = 2\sqrt{m}$ и $B = 7\sqrt{n}$.
Ответ: $(2\sqrt{m} - 7\sqrt{n})^2$.

9) Данное выражение является полным квадратом. Используем формулу квадрата суммы $A^2 + 2AB + B^2 = (A+B)^2$.
Представим $b$ как $(\sqrt{b})^2$ и 9 как $3^2$.
Тогда выражение $b + 6\sqrt{b} + 9$ можно переписать как $(\sqrt{b})^2 + 2 \cdot \sqrt{b} \cdot 3 + 3^2$.
Здесь $A = \sqrt{b}$ и $B = 3$, следовательно, выражение сворачивается в $(\sqrt{b} + 3)^2$.
Ответ: $(\sqrt{b} + 3)^2$.

10) Данное выражение является полным квадратом. Используем формулу квадрата суммы $A^2 + 2AB + B^2 = (A+B)^2$.
Представим 3 как $(\sqrt{3})^2$ и $c$ как $(\sqrt{c})^2$ (подразумевается, что $c \ge 0$).
Средний член $2\sqrt{3c}$ можно записать как $2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{c}$.
Таким образом, $3 + 2\sqrt{3c} + c = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{c} + (\sqrt{c})^2$.
Это соответствует формуле с $A = \sqrt{3}$ и $B = \sqrt{c}$.
Ответ: $(\sqrt{3} + \sqrt{c})^2$.

11) Для разложения на множители представим число 2 как $(\sqrt{2})^2$.
Выражение примет вид $(\sqrt{2})^2 + \sqrt{2}$.
Теперь можно вынести общий множитель $\sqrt{2}$ за скобки.
$\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)$.
Ответ: $\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)$.

12) Для разложения на множители представим число 7 как $(\sqrt{7})^2$.
Выражение примет вид $6\sqrt{7} - (\sqrt{7})^2$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{7}$ за скобки.
$\sqrt{7}(6 - \sqrt{7})$.
Ответ: $\sqrt{7}(6 - \sqrt{7})$.

13) Для разложения на множители представим $a$ как $(\sqrt{a})^2$ (подразумевается, что $a \ge 0$).
Выражение примет вид $(\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{a}$ за скобки.
$\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)$.
Ответ: $\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)$.

14) Используем свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ для $\sqrt{3b}$ (подразумевается, что $b \ge 0$).
Выражение примет вид $\sqrt{b} + \sqrt{3}\sqrt{b}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{b}$ за скобки.
$\sqrt{b}(1 + \sqrt{3})$.
Ответ: $\sqrt{b}(1 + \sqrt{3})$.

15) Для разложения на множители представим $\sqrt{15}$ как $\sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{3}\sqrt{5}$.
Выражение примет вид $\sqrt{3}\sqrt{5} - \sqrt{5}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{5}$ за скобки.
$\sqrt{5}(\sqrt{3} - 1)$.
Ответ: $\sqrt{5}(\sqrt{3} - 1)$.