Номер 538, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 538, страница 138.

Условие.

538. Выполните умножение:

1) $(2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1);$

2) $(\sqrt{2} + \sqrt{5})(2\sqrt{2} - \sqrt{5});$

3) $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b});$

4) $(\sqrt{b} - \sqrt{c})(\sqrt{b} + \sqrt{c});$

5) $(4 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3});$

6) $(y - \sqrt{7})(y + \sqrt{7});$

7) $(4\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} + 4\sqrt{2});$

8) $(m + \sqrt{n})^2;$

9) $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2;$

10) $(2 - 3\sqrt{3})^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для выполнения умножения $(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)$ используем правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго):
$(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}+1) = 2 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot 1 - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3} + 2 - 3 - \sqrt{3}$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$(2\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (2 - 3) = \sqrt{3} - 1$
Ответ: $\sqrt{3}-1$

2) Раскроем скобки в выражении $(\sqrt{2}+\sqrt{5})(2\sqrt{2}-\sqrt{5})$:
$(\sqrt{2}+\sqrt{5})(2\sqrt{2}-\sqrt{5}) = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$
$= 2 \cdot (\sqrt{2})^2 - \sqrt{10} + 2\sqrt{10} - (\sqrt{5})^2 = 2 \cdot 2 - \sqrt{10} + 2\sqrt{10} - 5 = 4 - 5 + \sqrt{10}$
Приведем подобные слагаемые:
$4 - 5 + \sqrt{10} = -1 + \sqrt{10}$
Ответ: $\sqrt{10}-1$

3) В выражении $(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})$ применяется формула разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x=a$ и $y=\sqrt{b}$:
$(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b$
Ответ: $a^2-b$

4) В выражении $(\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})$ также используется формула разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=\sqrt{b}$ и $y=\sqrt{c}$:
$(\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c}) = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{c})^2 = b - c$
Ответ: $b-c$

5) В выражении $(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3})$ снова применяем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x=4$ и $y=\sqrt{3}$:
$(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 16 - 3 = 13$
Ответ: $13$

6) В выражении $(y-\sqrt{7})(y+\sqrt{7})$ применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=y$ и $y=\sqrt{7}$:
$(y-\sqrt{7})(y+\sqrt{7}) = y^2 - (\sqrt{7})^2 = y^2 - 7$
Ответ: $y^2-7$

7) Переставим слагаемые во второй скобке, чтобы увидеть формулу разности квадратов:
$(4\sqrt{2}-2\sqrt{3})(2\sqrt{3}+4\sqrt{2}) = (4\sqrt{2}-2\sqrt{3})(4\sqrt{2}+2\sqrt{3})$
Применяем формулу $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=4\sqrt{2}$ и $y=2\sqrt{3}$:
$(4\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = (4^2 \cdot (\sqrt{2})^2) - (2^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = (16 \cdot 2) - (4 \cdot 3) = 32 - 12 = 20$
Ответ: $20$

8) Для выражения $(m+\sqrt{n})^2$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, где $x=m$ и $y=\sqrt{n}$:
$(m+\sqrt{n})^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot \sqrt{n} + (\sqrt{n})^2 = m^2 + 2m\sqrt{n} + n$
Ответ: $m^2+2m\sqrt{n}+n$

9) Для выражения $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$ используем формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$, где $x=\sqrt{a}$ и $y=\sqrt{b}$:
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b$
Ответ: $a+b-2\sqrt{ab}$

10) Для выражения $(2-3\sqrt{3})^2$ используем формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$, где $x=2$ и $y=3\sqrt{3}$:
$(2-3\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3\sqrt{3} + (3\sqrt{3})^2 = 4 - 12\sqrt{3} + (3^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = 4 - 12\sqrt{3} + (9 \cdot 3) = 4 - 12\sqrt{3} + 27$
Приведем подобные слагаемые:
$4+27 - 12\sqrt{3} = 31 - 12\sqrt{3}$
Ответ: $31-12\sqrt{3}$