Номер 540, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 540, страница 138.

Условие.

540. Чему равно значение выражения:

1) $(2 + \sqrt{7})^2 - 4\sqrt{7};$

2) $(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2 + 6\sqrt{2}?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Найдем значение выражения $(2+\sqrt{7})^2 - 4\sqrt{7}$.

Для начала раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = 2$, а $b = \sqrt{7}$.

$(2+\sqrt{7})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 4 + 4\sqrt{7} + 7 = 11 + 4\sqrt{7}$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(11 + 4\sqrt{7}) - 4\sqrt{7}$.

Выполним вычитание:

$11 + 4\sqrt{7} - 4\sqrt{7} = 11$.

Слагаемые $4\sqrt{7}$ и $-4\sqrt{7}$ взаимно уничтожаются.

Ответ: 11

2) Найдем значение выражения $(\sqrt{6}-\sqrt{3})^2 + 6\sqrt{2}$.

Сначала раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a = \sqrt{6}$, а $b = \sqrt{3}$.

$(\sqrt{6}-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$.

Упростим полученное выражение:

$(\sqrt{6})^2 = 6$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

$2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{6 \cdot 3} = 2\sqrt{18}$.

Разложим подкоренное выражение $18$ на множители, чтобы вынести множитель из-под знака корня: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Тогда $2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

Собираем все вместе:

$(\sqrt{6}-\sqrt{3})^2 = 6 - 6\sqrt{2} + 3 = 9 - 6\sqrt{2}$.

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$(9 - 6\sqrt{2}) + 6\sqrt{2}$.

Выполним сложение:

$9 - 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 9$.

Слагаемые $-6\sqrt{2}$ и $6\sqrt{2}$ взаимно уничтожаются.

Ответ: 9