Номер 543, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 543, страница 138.

Условие.

543. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $ \frac{a}{\sqrt{11}} $;

2) $ \frac{18}{\sqrt{6}} $;

3) $ \frac{5}{\sqrt{10}} $;

4) $ \frac{13}{\sqrt{26}} $;

5) $ \frac{30}{\sqrt{15}} $;

6) $ \frac{2}{3\sqrt{x}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на такое выражение, которое сделает знаменатель рациональным числом. В данных примерах, где знаменатель содержит квадратный корень, мы будем умножать на этот же корень.

1)

Для дроби $\frac{a}{\sqrt{11}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{11}$:
$\frac{a}{\sqrt{11}} = \frac{a \cdot \sqrt{11}}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{11}} = \frac{a\sqrt{11}}{(\sqrt{11})^2} = \frac{a\sqrt{11}}{11}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{11}}{11}$.

2)

Для дроби $\frac{18}{\sqrt{6}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:
$\frac{18}{\sqrt{6}} = \frac{18 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{18\sqrt{6}}{6}$.
Сократим полученную дробь на 6:
$\frac{18\sqrt{6}}{6} = 3\sqrt{6}$.
Ответ: $3\sqrt{6}$.

3)

Для дроби $\frac{5}{\sqrt{10}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:
$\frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{10}$.
Сократим полученную дробь на 5:
$\frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

4)

Для дроби $\frac{13}{\sqrt{26}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{26}$:
$\frac{13}{\sqrt{26}} = \frac{13 \cdot \sqrt{26}}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{26}} = \frac{13\sqrt{26}}{26}$.
Сократим полученную дробь на 13:
$\frac{13\sqrt{26}}{26} = \frac{\sqrt{26}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{26}}{2}$.

5)

Для дроби $\frac{30}{\sqrt{15}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$:
$\frac{30}{\sqrt{15}} = \frac{30 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{30\sqrt{15}}{15}$.
Сократим полученную дробь на 15:
$\frac{30\sqrt{15}}{15} = 2\sqrt{15}$.
Ответ: $2\sqrt{15}$.

6)

Для дроби $\frac{2}{3\sqrt{x}}$ (при условии $x>0$) умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{x}$:
$\frac{2}{3\sqrt{x}} = \frac{2 \cdot \sqrt{x}}{3\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}}{3(\sqrt{x})^2} = \frac{2\sqrt{x}}{3x}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{x}}{3x}$.