Номер 550, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 550, страница 140.

Условие.

550. Упростите выражение:

1) $\sqrt{98} - \sqrt{50} + \sqrt{32}$;

2) $3\sqrt{8} + \sqrt{128} - \frac{1}{3}\sqrt{162}$;

3) $0,7\sqrt{300} - 7\sqrt{\frac{3}{49}} + \frac{2}{3}\sqrt{108}$;

4) $\sqrt{5a} - 2\sqrt{20a} + 3\sqrt{80a}$;

5) $\sqrt{a^3b} - \frac{2}{a}\sqrt{a^5b}$, если $a > 0$;

6) $\sqrt{c^5} + 4c\sqrt{c^3} - 5c^2\sqrt{c}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для упрощения выражения $\sqrt{98} - \sqrt{50} + \sqrt{32}$ необходимо вынести множители из-под знаков корней, представив подкоренные выражения в виде произведения чисел, одно из которых является полным квадратом.

Разложим каждое подкоренное выражение:

$\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$7\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 4\sqrt{2}$

Так как все слагаемые содержат одинаковый множитель $\sqrt{2}$, мы можем сложить и вычесть их коэффициенты:

$(7 - 5 + 4)\sqrt{2} = (2 + 4)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Ответ: $6\sqrt{2}$

2)

Упростим выражение $3\sqrt{8} + \sqrt{128} - \frac{1}{3}\sqrt{162}$. Для этого вынесем множители из-под знаков корней.

Упростим каждый член выражения:

$3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \cdot 2} = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

$\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$

$\frac{1}{3}\sqrt{162} = \frac{1}{3}\sqrt{81 \cdot 2} = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$6\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - 3\sqrt{2}$

Сложим и вычтем коэффициенты при общем множителе $\sqrt{2}$:

$(6 + 8 - 3)\sqrt{2} = (14 - 3)\sqrt{2} = 11\sqrt{2}$

Ответ: $11\sqrt{2}$

3)

Упростим выражение $0,7\sqrt{300} - 7\sqrt{\frac{3}{49}} + \frac{2}{3}\sqrt{108}$.

Рассмотрим каждый член по отдельности:

$0,7\sqrt{300} = 0,7\sqrt{100 \cdot 3} = 0,7 \cdot 10\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$

$7\sqrt{\frac{3}{49}} = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{49}} = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{7} = \sqrt{3}$

$\frac{2}{3}\sqrt{108} = \frac{2}{3}\sqrt{36 \cdot 3} = \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

Теперь подставим упрощенные значения в выражение:

$7\sqrt{3} - \sqrt{3} + 4\sqrt{3}$

Выполним действия с коэффициентами при $\sqrt{3}$:

$(7 - 1 + 4)\sqrt{3} = (6 + 4)\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$

Ответ: $10\sqrt{3}$

4)

Упростим выражение $\sqrt{5a} - 2\sqrt{20a} + 3\sqrt{80a}$. Предполагается, что $a \ge 0$, чтобы выражение имело смысл.

Вынесем множители из-под знака корня в каждом слагаемом:

Первый член $\sqrt{5a}$ уже упрощен.

$2\sqrt{20a} = 2\sqrt{4 \cdot 5a} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{5a} = 2 \cdot 2\sqrt{5a} = 4\sqrt{5a}$

$3\sqrt{80a} = 3\sqrt{16 \cdot 5a} = 3 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{5a} = 3 \cdot 4\sqrt{5a} = 12\sqrt{5a}$

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$\sqrt{5a} - 4\sqrt{5a} + 12\sqrt{5a}$

Приведем подобные слагаемые, вынеся общий множитель $\sqrt{5a}$ за скобки:

$(1 - 4 + 12)\sqrt{5a} = (-3 + 12)\sqrt{5a} = 9\sqrt{5a}$

Ответ: $9\sqrt{5a}$

5)

Упростим выражение $\sqrt{a^3b} - \frac{2}{a}\sqrt{a^5b}$ при условии, что $a > 0$. Также будем считать, что $b \ge 0$.

Вынесем множители из-под знаков корней.

Для первого члена: $\sqrt{a^3b} = \sqrt{a^2 \cdot ab} = \sqrt{a^2}\sqrt{ab}$. Так как $a > 0$, то $\sqrt{a^2} = a$. Следовательно, $\sqrt{a^3b} = a\sqrt{ab}$.

Для второго члена: $\sqrt{a^5b} = \sqrt{a^4 \cdot ab} = \sqrt{a^4}\sqrt{ab} = a^2\sqrt{ab}$. Тогда весь член равен $\frac{2}{a} \cdot a^2\sqrt{ab} = 2a\sqrt{ab}$.

Подставим упрощенные члены в исходное выражение:

$a\sqrt{ab} - 2a\sqrt{ab}$

Вынесем общий множитель $a\sqrt{ab}$ за скобки:

$(1 - 2)a\sqrt{ab} = -1 \cdot a\sqrt{ab} = -a\sqrt{ab}$

Ответ: $-a\sqrt{ab}$

6)

Упростим выражение $\sqrt{c^5} + 4c\sqrt{c^3} - 5c^2\sqrt{c}$. Предполагается, что $c \ge 0$, чтобы корни были определены.

Упростим каждый член, вынося множитель из-под знака корня так, чтобы под корнем осталась переменная $c$.

Первый член: $\sqrt{c^5} = \sqrt{c^4 \cdot c} = \sqrt{(c^2)^2 \cdot c} = c^2\sqrt{c}$.

Второй член: $4c\sqrt{c^3} = 4c\sqrt{c^2 \cdot c} = 4c \cdot c\sqrt{c} = 4c^2\sqrt{c}$.

Третий член $-5c^2\sqrt{c}$ уже в упрощенном виде.

Теперь подставим упрощенные члены в исходное выражение:

$c^2\sqrt{c} + 4c^2\sqrt{c} - 5c^2\sqrt{c}$

Все члены являются подобными. Вынесем общий множитель $c^2\sqrt{c}$ за скобки:

$(1 + 4 - 5)c^2\sqrt{c} = (5 - 5)c^2\sqrt{c} = 0 \cdot c^2\sqrt{c} = 0$

Ответ: $0$