Номер 553, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 553, страница 140.

Условие.

553. Упростите выражение:

1) $(2\sqrt{3}-1)(\sqrt{27}+2)$;

2) $(\sqrt{5}-2)^2-(3+\sqrt{5})^2$;

3) $\sqrt{17-4}\cdot\sqrt{17+4}$;

4) $(7+4\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^2$;

5) $(\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{6-2\sqrt{5}})^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для начала упростим выражение $\sqrt{27}$:

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$(2\sqrt{3}-1)(\sqrt{27}+2) = (2\sqrt{3}-1)(3\sqrt{3}+2)$

Раскроем скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй (по правилу FOIL):

$(2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3}) + (2\sqrt{3} \cdot 2) - (1 \cdot 3\sqrt{3}) - (1 \cdot 2) = 6 \cdot (\sqrt{3})^2 + 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 2$

Сгруппируем и упростим полученные слагаемые:

$6 \cdot 3 + 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 2 = 18 + \sqrt{3} - 2 = 16 + \sqrt{3}$

Ответ: $16 + \sqrt{3}$

2) Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В данном случае $a = \sqrt{5}-2$ и $b = 3+\sqrt{5}$.

$(\sqrt{5}-2)^2 - (3+\sqrt{5})^2 = ((\sqrt{5}-2) - (3+\sqrt{5})) \cdot ((\sqrt{5}-2) + (3+\sqrt{5}))$

Вычислим значение в каждой из скобок:

Первая скобка: $\sqrt{5}-2 - 3 - \sqrt{5} = -5$

Вторая скобка: $\sqrt{5}-2 + 3 + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} + 1$

Теперь перемножим полученные результаты:

$(-5) \cdot (2\sqrt{5} + 1) = -10\sqrt{5} - 5$

Ответ: $-5 - 10\sqrt{5}$

3) Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{\sqrt{17}-4} \cdot \sqrt{\sqrt{17}+4} = \sqrt{(\sqrt{17}-4)(\sqrt{17}+4)}$

Выражение под корнем представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{17}$ и $b=4$.

$\sqrt{(\sqrt{17})^2 - 4^2} = \sqrt{17 - 16} = \sqrt{1}$

Вычисляем корень:

$\sqrt{1} = 1$

Ответ: $1$

4) Сначала раскроем скобки с квадратом, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2-\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})$

Это выражение является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=7$ и $b=4\sqrt{3}$.

$7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$

Ответ: $1$

5) Для решения этого примера можно сначала упростить выражения под знаком корня (сложные радикалы), используя формулу $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$, где $x+y=a$ и $xy=b$.

Рассмотрим первый корень: $\sqrt{6+2\sqrt{5}}$. Здесь $a=6, b=5$. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 6, а произведение равно 5. Это числа 5 и 1.

$\sqrt{6+2\sqrt{5}} = \sqrt{5} + \sqrt{1} = \sqrt{5} + 1$.

Рассмотрим второй корень: $\sqrt{6-2\sqrt{5}}$. Аналогично, это числа 5 и 1.

$\sqrt{6-2\sqrt{5}} = \sqrt{5} - \sqrt{1} = \sqrt{5} - 1$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:

$(\sqrt{6+2\sqrt{5}} - \sqrt{6-2\sqrt{5}})^2 = ((\sqrt{5}+1) - (\sqrt{5}-1))^2$

Раскроем внутренние скобки:

$(\sqrt{5}+1 - \sqrt{5}+1)^2 = (2)^2$

Возводим в квадрат:

$2^2 = 4$

Ответ: $4$