Номер 555, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 555, страница 140.

Условие.

555. Сократите дробь:

1) $ \frac{4a + 4\sqrt{5}}{a^2 - 5}; $

2) $ \frac{\sqrt{28} - 2\sqrt{2a}}{6a - 21}; $

3) $ \frac{a + 4\sqrt{ab} + 4b}{a - 4b} $, если $ a > 0, b > 0; $

4) $ \frac{x^2 - 6y}{x^2 + 6y - x\sqrt{24y}}; $

5) $ \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}; $

6) $ \frac{m\sqrt{m} - 27}{\sqrt{m} - 3}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дана дробь $\frac{4a + 4\sqrt{5}}{a^2 - 5}$.
Чтобы сократить дробь, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель 4 за скобки:
$4a + 4\sqrt{5} = 4(a + \sqrt{5})$.
Знаменатель $a^2 - 5$ является разностью квадратов, так как $5 = (\sqrt{5})^2$. Используем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - 5 = a^2 - (\sqrt{5})^2 = (a - \sqrt{5})(a + \sqrt{5})$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{4(a + \sqrt{5})}{(a - \sqrt{5})(a + \sqrt{5})}$.
Сократим общий множитель $(a + \sqrt{5})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \ne -\sqrt{5}$):
$\frac{4}{a - \sqrt{5}}$.
Ответ: $\frac{4}{a - \sqrt{5}}$.

2) Дана дробь $\frac{\sqrt{28} - 2\sqrt{2a}}{6a - 21}$.
Упростим выражения в числителе и знаменателе.
В числителе вынесем множитель из-под корня: $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
Тогда числитель примет вид: $2\sqrt{7} - 2\sqrt{2a} = 2(\sqrt{7} - \sqrt{2a})$.
В знаменателе вынесем общий множитель 3 за скобки:
$6a - 21 = 3(2a - 7)$.
Дробь становится: $\frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{2a})}{3(2a - 7)}$.
Заметим, что выражение в знаменателе $2a - 7$ можно представить в виде разности квадратов, предварительно вынеся знак минус: $2a - 7 = -(7 - 2a) = -((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2a})^2) = -(\sqrt{7} - \sqrt{2a})(\sqrt{7} + \sqrt{2a})$.
Подставим это в дробь:
$\frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{2a})}{-3(\sqrt{7} - \sqrt{2a})(\sqrt{7} + \sqrt{2a})}$.
Сократим на общий множитель $(\sqrt{7} - \sqrt{2a})$ (при условии, что $a \ne \frac{7}{2}$):
$\frac{2}{-3(\sqrt{7} + \sqrt{2a})} = -\frac{2}{3(\sqrt{7} + \sqrt{2a})}$.
Ответ: $-\frac{2}{3(\sqrt{7} + \sqrt{2a})}$.

3) Дана дробь $\frac{a + 4\sqrt{ab} + 4b}{a - 4b}$, при $a > 0, b > 0$.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $a + 4\sqrt{ab} + 4b$ является полным квадратом. Представим его в виде $(\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot (2\sqrt{b}) + (2\sqrt{b})^2$.
Используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, получаем:
$a + 4\sqrt{ab} + 4b = (\sqrt{a} + 2\sqrt{b})^2$.
Знаменатель $a - 4b$ является разностью квадратов, так как $a = (\sqrt{a})^2$ и $4b = (2\sqrt{b})^2$:
$a - 4b = (\sqrt{a})^2 - (2\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - 2\sqrt{b})(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - 2\sqrt{b})(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})}$.
Сократим на общий множитель $(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})$ (так как $a>0, b>0$, то $\sqrt{a} + 2\sqrt{b} \ne 0$):
$\frac{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}{\sqrt{a} - 2\sqrt{b}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}{\sqrt{a} - 2\sqrt{b}}$.

4) Дана дробь $\frac{x^2 - 6y}{x^2 + 6y - x\sqrt{24y}}$.
Преобразуем знаменатель. Упростим корень: $\sqrt{24y} = \sqrt{4 \cdot 6y} = 2\sqrt{6y}$.
Знаменатель: $x^2 + 6y - x(2\sqrt{6y}) = x^2 - 2x\sqrt{6y} + 6y$.
Это выражение является полным квадратом разности. Представим его как $x^2 - 2 \cdot x \cdot \sqrt{6y} + (\sqrt{6y})^2$.
Используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем:
$x^2 - 2x\sqrt{6y} + 6y = (x - \sqrt{6y})^2$.
Теперь рассмотрим числитель $x^2 - 6y$. Это разность квадратов:
$x^2 - 6y = x^2 - (\sqrt{6y})^2 = (x - \sqrt{6y})(x + \sqrt{6y})$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(x - \sqrt{6y})(x + \sqrt{6y})}{(x - \sqrt{6y})^2}$.
Сократим на общий множитель $(x - \sqrt{6y})$ (при условии, что $x \ne \sqrt{6y}$):
$\frac{x + \sqrt{6y}}{x - \sqrt{6y}}$.
Ответ: $\frac{x + \sqrt{6y}}{x - \sqrt{6y}}$.

5) Дана дробь $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}$.
Разложим знаменатель на множители. Знаменатель является суммой кубов.
Представим $\sqrt{a^3} = (\sqrt{a})^3$ и $\sqrt{b^3} = (\sqrt{b})^3$.
Знаменатель: $(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3$.
Используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$:
$(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2) = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)$.
Подставим разложенное выражение в дробь:
$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}$.
Сократим на общий множитель $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ (при условии, что $a$ и $b$ не равны нулю одновременно):
$\frac{1}{a - \sqrt{ab} + b}$.
Ответ: $\frac{1}{a - \sqrt{ab} + b}$.

6) Дана дробь $\frac{m\sqrt{m} - 27}{\sqrt{m} - 3}$.
Разложим числитель на множители. Числитель является разностью кубов.
Представим $m\sqrt{m} = (\sqrt{m})^3$ и $27 = 3^3$.
Числитель: $(\sqrt{m})^3 - 3^3$.
Используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:
$(\sqrt{m})^3 - 3^3 = (\sqrt{m} - 3)((\sqrt{m})^2 + \sqrt{m} \cdot 3 + 3^2) = (\sqrt{m} - 3)(m + 3\sqrt{m} + 9)$.
Подставим разложенное выражение в дробь:
$\frac{(\sqrt{m} - 3)(m + 3\sqrt{m} + 9)}{\sqrt{m} - 3}$.
Сократим на общий множитель $(\sqrt{m} - 3)$ (при условии, что $m \ne 9$):
$m + 3\sqrt{m} + 9$.
Ответ: $m + 3\sqrt{m} + 9$.