Номер 560, страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 560, страница 141.

Условие.

560. Докажите, что значением выражения является рациональное число:

1) $ \frac{6}{3+2\sqrt{3}} + \frac{6}{3-2\sqrt{3}} $

2) $ \frac{\sqrt{11}+\sqrt{6}}{\sqrt{11}-\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{11}-\sqrt{6}}{\sqrt{11}+\sqrt{6}} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{6}{3+2\sqrt{3}} + \frac{6}{3-2\sqrt{3}}$ является рациональным числом, необходимо упростить данное выражение. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

Общим знаменателем является произведение знаменателей $(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})$. Для его вычисления воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3}) = 3^2 - (2\sqrt{3})^2 = 9 - (4 \cdot 3) = 9 - 12 = -3$.

Теперь сложим дроби, приведя их к общему знаменателю:

$\frac{6(3-2\sqrt{3})}{(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})} + \frac{6(3+2\sqrt{3})}{(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})} = \frac{6(3-2\sqrt{3}) + 6(3+2\sqrt{3})}{-3}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{18 - 12\sqrt{3} + 18 + 12\sqrt{3}}{-3}$.

Слагаемые, содержащие корень ($-12\sqrt{3}$ и $12\sqrt{3}$), взаимно уничтожаются:

$\frac{18 + 18}{-3} = \frac{36}{-3} = -12$.

Полученное число -12 является целым. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1 (в данном случае $\frac{-12}{1}$). Следовательно, значение выражения является рациональным числом.

Ответ: -12.

2) Чтобы проверить утверждение, что значение выражения $\frac{\sqrt{11+\sqrt{6}}}{\sqrt{11-\sqrt{6}}} + \frac{\sqrt{11-\sqrt{6}}}{\sqrt{11+\sqrt{6}}}$ является рациональным числом, упростим его. Приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель равен $\sqrt{11-\sqrt{6}} \cdot \sqrt{11+\sqrt{6}}$. Упростим его, используя свойство $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и формулу разности квадратов:

$\sqrt{(11-\sqrt{6})(11+\sqrt{6})} = \sqrt{11^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{121 - 6} = \sqrt{115}$.

Теперь выполним сложение дробей:

$\frac{(\sqrt{11+\sqrt{6}})^2 + (\sqrt{11-\sqrt{6}})^2}{\sqrt{115}} = \frac{(11+\sqrt{6}) + (11-\sqrt{6})}{\sqrt{115}}$.

Упростим числитель. Слагаемые $\sqrt{6}$ и $-\sqrt{6}$ взаимно уничтожаются:

$11 + 11 = 22$.

Таким образом, значение выражения равно:

$\frac{22}{\sqrt{115}}$.

Проанализируем полученный результат. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Число 115 не является полным квадратом целого числа ($10^2=100$, $11^2=121$), поэтому $\sqrt{115}$ является иррациональным числом. Частное от деления ненулевого рационального числа (22) на иррациональное число ($\sqrt{115}$) также является иррациональным числом.

Следовательно, значение данного выражения является иррациональным числом, что противоречит условию задачи "докажите, что значением выражения является рациональное число". Вероятно, в условии задачи содержится опечатка.

Ответ: Значение выражения равно $\frac{22}{\sqrt{115}}$, что является иррациональным числом. Утверждение в условии задачи неверно.