Номер 559, страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 559, страница 141.

Условие.

559. Докажите равенство:

1) $\frac{1}{5-2\sqrt{6}} + \frac{1}{5+2\sqrt{6}} = 10$;

2) $\frac{2}{3\sqrt{2}+4} - \frac{2}{3\sqrt{2}-4} = -8$;

3) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} - \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = 4\sqrt{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы доказать равенство, преобразуем его левую часть. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение знаменателей исходных дробей: $(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})$.

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для упрощения знаменателя:

$(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Теперь выполним сложение дробей:

$\frac{1}{5-2\sqrt{6}} + \frac{1}{5+2\sqrt{6}} = \frac{1 \cdot (5+2\sqrt{6}) + 1 \cdot (5-2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})} = \frac{5+2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}}{1} = \frac{10}{1} = 10$.

В результате преобразования левой части мы получили правую часть равенства: $10 = 10$.

Ответ: Равенство доказано.

2) Преобразуем левую часть равенства, приведя дроби к общему знаменателю $(3\sqrt{2}+4)(3\sqrt{2}-4)$.

$\frac{2}{3\sqrt{2}+4} - \frac{2}{3\sqrt{2}-4} = \frac{2(3\sqrt{2}-4) - 2(3\sqrt{2}+4)}{(3\sqrt{2}+4)(3\sqrt{2}-4)}$

Упростим знаменатель по формуле разности квадратов:

$(3\sqrt{2}+4)(3\sqrt{2}-4) = (3\sqrt{2})^2 - 4^2 = 9 \cdot 2 - 16 = 18 - 16 = 2$.

Упростим числитель, раскрыв скобки:

$2(3\sqrt{2}-4) - 2(3\sqrt{2}+4) = 6\sqrt{2} - 8 - (6\sqrt{2} + 8) = 6\sqrt{2} - 8 - 6\sqrt{2} - 8 = -16$.

Следовательно, левая часть равна $\frac{-16}{2} = -8$.

Получили верное равенство: $-8=-8$.

Ответ: Равенство доказано.

3) Преобразуем левую часть равенства, приведя дроби к общему знаменателю $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)$.

$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} - \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1) - (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2 - (\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$

Упростим знаменатель по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$.

Упростим числитель, используя формулы сокращенного умножения. Можно раскрыть каждый квадрат по формуле $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\cdot\sqrt{2}\cdot 1 + 1^2 = 2+2\sqrt{2}+1 = 3+2\sqrt{2}$.

$(\sqrt{2}-1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2\cdot\sqrt{2}\cdot 1 + 1^2 = 2-2\sqrt{2}+1 = 3-2\sqrt{2}$.

Тогда числитель равен: $(3+2\sqrt{2}) - (3-2\sqrt{2}) = 3+2\sqrt{2}-3+2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Следовательно, левая часть равна $\frac{4\sqrt{2}}{1} = 4\sqrt{2}$.

Получили верное равенство: $4\sqrt{2}=4\sqrt{2}$.

Ответ: Равенство доказано.