Номер 561, страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 561, страница 141.

Условие.

561. Упростите выражение:

1) $\frac{a}{\sqrt{a}-2} - \frac{4\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}-2}$;

2) $\frac{\sqrt{m}+1}{\sqrt{m}-2} - \frac{\sqrt{m}+3}{\sqrt{m}} \text{;}$

3) $\frac{\sqrt{y}+4}{\sqrt{xy}+y} - \frac{\sqrt{x}-4}{x+\sqrt{xy}} \text{;}$

4) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+4} - \frac{a}{a-16} \text{;}$

5) $\frac{a}{\sqrt{ab}-b} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}} \text{;}$

6) $\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \cdot \frac{b}{2\sqrt{a}+2} \text{;}$

7) $\frac{\sqrt{c}-5}{\sqrt{c}} : \frac{c-25}{3c} \text{;}$

8) $(\sqrt{a} - \frac{a}{\sqrt{a}+1}) : \frac{\sqrt{a}}{a-1} \text{;}$

9) $(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \text{;}$

10)

$(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3} + \frac{12\sqrt{x}}{x-9}) : \frac{\sqrt{x}+3}{x-3\sqrt{x}} \text{;}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Поскольку у дробей одинаковый знаменатель, вычтем их числители: $ \frac{a}{\sqrt{a}-2} - \frac{4\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}-2} = \frac{a - (4\sqrt{a}-4)}{\sqrt{a}-2} = \frac{a - 4\sqrt{a} + 4}{\sqrt{a}-2} $.
Числитель $ a - 4\sqrt{a} + 4 $ является полным квадратом разности: $ (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{a} + 2^2 = (\sqrt{a}-2)^2 $.
Подставим это в выражение: $ \frac{(\sqrt{a}-2)^2}{\sqrt{a}-2} $.
Сократим дробь на $ (\sqrt{a}-2) $, при условии, что $ \sqrt{a}-2 \neq 0 $: $ \sqrt{a}-2 $.
Ответ: $ \sqrt{a}-2 $.

2) Приведем дроби к общему знаменателю $ \sqrt{m}(\sqrt{m}-2) $: $ \frac{\sqrt{m}+1}{\sqrt{m}-2} - \frac{\sqrt{m}+3}{\sqrt{m}} = \frac{\sqrt{m}(\sqrt{m}+1) - (\sqrt{m}+3)(\sqrt{m}-2)}{\sqrt{m}(\sqrt{m}-2)} $.
Раскроем скобки в числителе: $ \sqrt{m}(\sqrt{m}+1) = m+\sqrt{m} $. $ (\sqrt{m}+3)(\sqrt{m}-2) = m - 2\sqrt{m} + 3\sqrt{m} - 6 = m + \sqrt{m} - 6 $.
Подставим и упростим числитель: $ \frac{(m+\sqrt{m}) - (m + \sqrt{m} - 6)}{\sqrt{m}(\sqrt{m}-2)} = \frac{m+\sqrt{m} - m - \sqrt{m} + 6}{\sqrt{m}(\sqrt{m}-2)} = \frac{6}{\sqrt{m}(\sqrt{m}-2)} $.
Можно раскрыть скобки в знаменателе: $ \frac{6}{m-2\sqrt{m}} $.
Ответ: $ \frac{6}{m-2\sqrt{m}} $.

3) Разложим на множители знаменатели: $ \sqrt{xy}+y = \sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) $. $ x+\sqrt{xy} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) $.
Выражение примет вид: $ \frac{\sqrt{y}+4}{\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} - \frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} $.
Приведем к общему знаменателю $ \sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) $: $ \frac{\sqrt{x}(\sqrt{y}+4) - \sqrt{y}(\sqrt{x}-4)}{\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} $.
Раскроем скобки в числителе: $ \frac{\sqrt{xy}+4\sqrt{x} - \sqrt{xy}+4\sqrt{y}}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{4\sqrt{x}+4\sqrt{y}}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} $.
Вынесем 4 за скобки в числителе: $ \frac{4(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} $.
Сократим на $ (\sqrt{x}+\sqrt{y}) $: $ \frac{4}{\sqrt{xy}} $.
Ответ: $ \frac{4}{\sqrt{xy}} $.

4) Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $ a-16 = (\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+4) $. $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+4} - \frac{a}{(\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+4)} $.
Приведем к общему знаменателю $ (\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+4) $: $ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-4) - a}{(\sqrt{a}+4)(\sqrt{a}-4)} = \frac{a-4\sqrt{a}-a}{a-16} = \frac{-4\sqrt{a}}{a-16} $.
Ответ: $ \frac{-4\sqrt{a}}{a-16} $.

5) Разложим на множители знаменатель первой дроби: $ \sqrt{ab}-b = \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) $.
Знаменатель второй дроби: $ \sqrt{b}-\sqrt{a} = -(\sqrt{a}-\sqrt{b}) $.
Перепишем выражение: $ \frac{a}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} + \frac{\sqrt{b}}{-(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} $.
Приведем к общему знаменателю $ \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) $: $ \frac{a - \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a-b}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} $.
Разложим числитель по формуле разности квадратов $ a-b=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $: $ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} $.
Сократим на $ (\sqrt{a}-\sqrt{b}) $: $ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}} $.

6) Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй: $ a+\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}+1) $. $ 2\sqrt{a}+2 = 2(\sqrt{a}+1) $.
Выражение примет вид: $ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{b}} \cdot \frac{b}{2(\sqrt{a}+1)} $.
Перемножим дроби и сократим общие множители $ (\sqrt{a}+1) $: $ \frac{\sqrt{a} \cdot b}{2\sqrt{b}} $.
Так как $ b = (\sqrt{b})^2 $, то $ \frac{b}{\sqrt{b}} = \sqrt{b} $. $ \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{2} = \frac{\sqrt{ab}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{ab}}{2} $.

7) Заменим деление умножением на обратную дробь: $ \frac{\sqrt{c}-5}{\sqrt{c}} \cdot \frac{3c}{c-25} $.
Разложим $ c-25 $ по формуле разности квадратов: $ c-25 = (\sqrt{c}-5)(\sqrt{c}+5) $. $ \frac{\sqrt{c}-5}{\sqrt{c}} \cdot \frac{3c}{(\sqrt{c}-5)(\sqrt{c}+5)} $.
Сократим общие множители $ (\sqrt{c}-5) $: $ \frac{3c}{\sqrt{c}(\sqrt{c}+5)} $.
Так как $ c = (\sqrt{c})^2 $, то $ \frac{c}{\sqrt{c}} = \sqrt{c} $. $ \frac{3\sqrt{c}}{\sqrt{c}+5} $.
Ответ: $ \frac{3\sqrt{c}}{\sqrt{c}+5} $.

8) Сначала упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $ \sqrt{a}+1 $: $ \sqrt{a} - \frac{a}{\sqrt{a}+1} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)-a}{\sqrt{a}+1} = \frac{a+\sqrt{a}-a}{\sqrt{a}+1} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} $.
Теперь выполним деление: $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} : \frac{\sqrt{a}}{a-1} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \cdot \frac{a-1}{\sqrt{a}} $.
Разложим $ a-1 = (\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1) $: $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \cdot \frac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}} $.
Сократим общие множители $ \sqrt{a} $ и $ (\sqrt{a}+1) $: $ \sqrt{a}-1 $.
Ответ: $ \sqrt{a}-1 $.

9) Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $ \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) $: $ \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) + \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} $.
В числителе используем формулу разности квадратов: $ \frac{(a-b) + b}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} $.
Теперь выполним деление: $ \frac{a}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} $.
Сократим $ \sqrt{b} $: $ \frac{a}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} $.
Так как $ a = (\sqrt{a})^2 $, то $ \frac{a}{\sqrt{a}} = \sqrt{a} $: $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} $.

10) Упростим выражение в скобках. Разложим $ x-9 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3) $.
Приведем к общему знаменателю $ x-9 $: $ \frac{(\sqrt{x}-3)^2 + 12\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} = \frac{x-6\sqrt{x}+9+12\sqrt{x}}{x-9} = \frac{x+6\sqrt{x}+9}{x-9} $.
Числитель является полным квадратом суммы: $ x+6\sqrt{x}+9 = (\sqrt{x}+3)^2 $.
Выражение в скобках равно: $ \frac{(\sqrt{x}+3)^2}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3} $.
Теперь выполним деление: $ \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3} : \frac{\sqrt{x}+3}{x-3\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3} \cdot \frac{x-3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} $.
Разложим на множители $ x-3\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-3) $: $ \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3} \cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}+3} $.
Сократим общие множители $ (\sqrt{x}+3) $ и $ (\sqrt{x}-3) $: $ \sqrt{x} $.
Ответ: $ \sqrt{x} $.