Номер 557, страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 557, страница 141.
№557 (с. 141)
Условие. №557 (с. 141)
скриншот условия

557. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$;
2) $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}};$
3) $\frac{15}{\sqrt{15}-\sqrt{12}};$
4) $\frac{19}{2\sqrt{5}-1};$
5) $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}};$
6) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}.$
Решение 1. №557 (с. 141)






Решение 2. №557 (с. 141)

Решение 3. №557 (с. 141)

Решение 4. №557 (с. 141)

Решение 5. №557 (с. 141)

Решение 7. №557 (с. 141)

Решение 8. №557 (с. 141)
1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$, необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{2}+1$ является $\sqrt{2}-1$.
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$
В знаменателе применяем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:
$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$.
В числителе раскрываем скобки:
$\sqrt{2}(\sqrt{2}-1) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 = 2 - \sqrt{2}$.
В результате получаем:
$\frac{2 - \sqrt{2}}{1} = 2 - \sqrt{2}$.
Ответ: $2 - \sqrt{2}$.
2) Для дроби $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{7}-\sqrt{3}$.
$\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}$
Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:
$(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$.
Получаем дробь и сокращаем ее:
$\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4} = \sqrt{7}-\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{7}-\sqrt{3}$.
3) Для дроби $\frac{15}{\sqrt{15}-\sqrt{12}}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{15}+\sqrt{12}$.
$\frac{15}{\sqrt{15}-\sqrt{12}} = \frac{15(\sqrt{15}+\sqrt{12})}{(\sqrt{15}-\sqrt{12})(\sqrt{15}+\sqrt{12})}$
Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:
$(\sqrt{15}-\sqrt{12})(\sqrt{15}+\sqrt{12}) = (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{12})^2 = 15 - 12 = 3$.
Получаем дробь и сокращаем ее:
$\frac{15(\sqrt{15}+\sqrt{12})}{3} = 5(\sqrt{15}+\sqrt{12})$.
Можно также упростить выражение, вынеся множитель из-под корня: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
$5(\sqrt{15}+\sqrt{12}) = 5(\sqrt{15}+2\sqrt{3})$.
Ответ: $5(\sqrt{15}+2\sqrt{3})$.
4) Для дроби $\frac{19}{2\sqrt{5}-1}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2\sqrt{5}+1$.
$\frac{19}{2\sqrt{5}-1} = \frac{19(2\sqrt{5}+1)}{(2\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}+1)}$
Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:
$(2\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}+1) = (2\sqrt{5})^2 - 1^2 = 4 \cdot 5 - 1 = 20 - 1 = 19$.
Получаем дробь и сокращаем ее:
$\frac{19(2\sqrt{5}+1)}{19} = 2\sqrt{5}+1$.
Ответ: $2\sqrt{5}+1$.
5) Для дроби $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{a}+\sqrt{b}$. (При условии, что $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $a \neq b$).
$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{1(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$
Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$.
В результате получаем:
$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$.
6) Для дроби $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{3}+1$.
$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$
Знаменатель по формуле разности квадратов: $(\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$.
Числитель по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(\sqrt{3}+1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\cdot\sqrt{3}\cdot1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$.
Получаем дробь:
$\frac{4+2\sqrt{3}}{2} = \frac{2(2+\sqrt{3})}{2} = 2+\sqrt{3}$.
Ответ: $2+\sqrt{3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 557 расположенного на странице 141 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №557 (с. 141), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.