Номер 557, страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 557, страница 141.

Условие.

557. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$;

2) $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}};$

3) $\frac{15}{\sqrt{15}-\sqrt{12}};$

4) $\frac{19}{2\sqrt{5}-1};$

5) $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}};$

6) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$, необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $\sqrt{2}+1$ является $\sqrt{2}-1$.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$

В знаменателе применяем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$.

В числителе раскрываем скобки:

$\sqrt{2}(\sqrt{2}-1) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 = 2 - \sqrt{2}$.

В результате получаем:

$\frac{2 - \sqrt{2}}{1} = 2 - \sqrt{2}$.

Ответ: $2 - \sqrt{2}$.

2) Для дроби $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{7}-\sqrt{3}$.

$\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}$

Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$.

Получаем дробь и сокращаем ее:

$\frac{4(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4} = \sqrt{7}-\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{7}-\sqrt{3}$.

3) Для дроби $\frac{15}{\sqrt{15}-\sqrt{12}}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{15}+\sqrt{12}$.

$\frac{15}{\sqrt{15}-\sqrt{12}} = \frac{15(\sqrt{15}+\sqrt{12})}{(\sqrt{15}-\sqrt{12})(\sqrt{15}+\sqrt{12})}$

Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{15}-\sqrt{12})(\sqrt{15}+\sqrt{12}) = (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{12})^2 = 15 - 12 = 3$.

Получаем дробь и сокращаем ее:

$\frac{15(\sqrt{15}+\sqrt{12})}{3} = 5(\sqrt{15}+\sqrt{12})$.

Можно также упростить выражение, вынеся множитель из-под корня: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

$5(\sqrt{15}+\sqrt{12}) = 5(\sqrt{15}+2\sqrt{3})$.

Ответ: $5(\sqrt{15}+2\sqrt{3})$.

4) Для дроби $\frac{19}{2\sqrt{5}-1}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2\sqrt{5}+1$.

$\frac{19}{2\sqrt{5}-1} = \frac{19(2\sqrt{5}+1)}{(2\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}+1)}$

Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:

$(2\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}+1) = (2\sqrt{5})^2 - 1^2 = 4 \cdot 5 - 1 = 20 - 1 = 19$.

Получаем дробь и сокращаем ее:

$\frac{19(2\sqrt{5}+1)}{19} = 2\sqrt{5}+1$.

Ответ: $2\sqrt{5}+1$.

5) Для дроби $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{a}+\sqrt{b}$. (При условии, что $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $a \neq b$).

$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{1(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$

Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$.

В результате получаем:

$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$.

6) Для дроби $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{3}+1$.

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$

Знаменатель по формуле разности квадратов: $(\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$.

Числитель по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{3}+1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\cdot\sqrt{3}\cdot1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$.

Получаем дробь:

$\frac{4+2\sqrt{3}}{2} = \frac{2(2+\sqrt{3})}{2} = 2+\sqrt{3}$.

Ответ: $2+\sqrt{3}$.