Номер 552, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 552, страница 140.

Условие.

552. Докажите, что:

1) $\sqrt{11+4\sqrt{7}}=\sqrt{7}+2$;

2) $\sqrt{14+8\sqrt{3}}=\sqrt{8}+\sqrt{6}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для доказательства равенства $\sqrt{11 + 4\sqrt{7}} = \sqrt{7} + 2$ преобразуем левую часть. Наша цель — представить подкоренное выражение $11 + 4\sqrt{7}$ в виде полного квадрата суммы, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Выражение под корнем: $11 + 4\sqrt{7}$.
Представим слагаемое $4\sqrt{7}$ как удвоенное произведение $2ab$:
$4\sqrt{7} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7}$.
Отсюда можно предположить, что в качестве $a$ и $b$ выступают $2$ и $\sqrt{7}$.
Проверим, соответствует ли сумма их квадратов $a^2+b^2$ первому слагаемому под корнем, то есть $11$.
Пусть $a = \sqrt{7}$ и $b = 2$.
Тогда $a^2 = (\sqrt{7})^2 = 7$ и $b^2 = 2^2 = 4$.
Сумма квадратов: $a^2 + b^2 = 7 + 4 = 11$.
Таким образом, мы можем записать подкоренное выражение в виде полного квадрата:
$11 + 4\sqrt{7} = 7 + 4\sqrt{7} + 4 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{7} + 2)^2$.
Теперь подставим это выражение обратно под корень в левой части исходного равенства:
$\sqrt{11 + 4\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} + 2)^2}$.
По определению арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, поэтому:
$\sqrt{(\sqrt{7} + 2)^2} = |\sqrt{7} + 2|$.
Поскольку $\sqrt{7} > 0$, то сумма $\sqrt{7} + 2$ является положительным числом, и её модуль равен самому числу: $|\sqrt{7} + 2| = \sqrt{7} + 2$.
В результате мы показали, что левая часть равенства $\sqrt{11 + 4\sqrt{7}}$ равна $\sqrt{7} + 2$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

2) Для доказательства равенства $\sqrt{14 + 8\sqrt{3}} = \sqrt{8} + \sqrt{6}$ преобразуем его левую часть. Мы хотим представить подкоренное выражение $14 + 8\sqrt{3}$ в виде полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Слагаемое $8\sqrt{3}$ должно быть равно удвоенному произведению $2ab$.
$8\sqrt{3} = 2 \cdot (4\sqrt{3})$. Значит, $ab = 4\sqrt{3}$.
Сумма квадратов $a^2+b^2$ должна быть равна $14$.
В правой части доказываемого равенства стоят слагаемые $\sqrt{8}$ и $\sqrt{6}$. Проверим, могут ли они быть нашими $a$ и $b$.
Пусть $a = \sqrt{8}$ и $b = \sqrt{6}$.
Проверим сумму их квадратов:
$a^2 + b^2 = (\sqrt{8})^2 + (\sqrt{6})^2 = 8 + 6 = 14$. Это соответствует первому слагаемому.
Проверим их удвоенное произведение:
$2ab = 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{8 \cdot 6} = 2\sqrt{48} = 2\sqrt{16 \cdot 3} = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$. Это соответствует второму слагаемому.
Следовательно, подкоренное выражение можно представить в виде квадрата суммы:
$14 + 8\sqrt{3} = (\sqrt{8})^2 + 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = (\sqrt{8} + \sqrt{6})^2$.
Подставим это выражение обратно в левую часть исходного равенства:
$\sqrt{14 + 8\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{8} + \sqrt{6})^2}$.
Используя свойство $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем:
$\sqrt{(\sqrt{8} + \sqrt{6})^2} = |\sqrt{8} + \sqrt{6}|$.
Так как $\sqrt{8}$ и $\sqrt{6}$ — положительные числа, их сумма также положительна, поэтому $|\sqrt{8} + \sqrt{6}| = \sqrt{8} + \sqrt{6}$.
Мы показали, что левая часть равна $\sqrt{8} + \sqrt{6}$, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.