Страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

549. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{18x^{12}}$

2) $\sqrt{y^9}$

1)

Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{18x^{12}}$, необходимо разложить подкоренное выражение на множители, из которых можно извлечь квадратный корень.

Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (при $a \ge 0, b \ge 0$).

$\sqrt{18x^{12}} = \sqrt{18} \cdot \sqrt{x^{12}}$

Сначала упростим $\sqrt{18}$. Для этого разложим число 18 на множители так, чтобы один из них был полным квадратом. Наибольший делитель числа 18, являющийся полным квадратом, это 9.

$18 = 9 \cdot 2$

Следовательно, $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Теперь упростим $\sqrt{x^{12}}$. Используем свойство корня $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.

$x^{12}$ можно представить как $(x^6)^2$.

$\sqrt{x^{12}} = \sqrt{(x^6)^2} = |x^6|$.

Поскольку показатель степени 6 является четным числом, выражение $x^6$ всегда неотрицательно (то есть $x^6 \ge 0$) для любого действительного значения $x$. Поэтому модуль можно опустить: $|x^6| = x^6$.

Теперь объединим полученные результаты:

$\sqrt{18x^{12}} = 3\sqrt{2} \cdot x^6 = 3x^6\sqrt{2}$.

Ответ: $3x^6\sqrt{2}$

2)

Рассмотрим выражение $\sqrt{y^9}$.

Квадратный корень в области действительных чисел определен только для неотрицательных чисел. Поэтому подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: $y^9 \ge 0$, что выполняется только при $y \ge 0$.

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, представим степень $y^9$ в виде произведения степеней, где одна из них имеет наибольший возможный четный показатель.

$y^9 = y^{8+1} = y^8 \cdot y^1 = y^8 \cdot y$

Теперь подставим это представление в исходное выражение:

$\sqrt{y^9} = \sqrt{y^8 \cdot y}$

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{y^8 \cdot y} = \sqrt{y^8} \cdot \sqrt{y}$

Упростим множитель $\sqrt{y^8}$:

$\sqrt{y^8} = \sqrt{(y^4)^2} = |y^4|$

Так как показатель степени 4 является четным, выражение $y^4$ всегда неотрицательно ($y^4 \ge 0$). Следовательно, $|y^4| = y^4$.

Объединим результаты:

$\sqrt{y^9} = y^4\sqrt{y}$.

Ответ: $y^4\sqrt{y}$

550. Упростите выражение:

1) $\sqrt{98} - \sqrt{50} + \sqrt{32}$;

2) $3\sqrt{8} + \sqrt{128} - \frac{1}{3}\sqrt{162}$;

3) $0,7\sqrt{300} - 7\sqrt{\frac{3}{49}} + \frac{2}{3}\sqrt{108}$;

4) $\sqrt{5a} - 2\sqrt{20a} + 3\sqrt{80a}$;

5) $\sqrt{a^3b} - \frac{2}{a}\sqrt{a^5b}$, если $a > 0$;

6) $\sqrt{c^5} + 4c\sqrt{c^3} - 5c^2\sqrt{c}$.

1)

Для упрощения выражения $\sqrt{98} - \sqrt{50} + \sqrt{32}$ необходимо вынести множители из-под знаков корней, представив подкоренные выражения в виде произведения чисел, одно из которых является полным квадратом.

Разложим каждое подкоренное выражение:

$\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$7\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 4\sqrt{2}$

Так как все слагаемые содержат одинаковый множитель $\sqrt{2}$, мы можем сложить и вычесть их коэффициенты:

$(7 - 5 + 4)\sqrt{2} = (2 + 4)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Ответ: $6\sqrt{2}$

2)

Упростим выражение $3\sqrt{8} + \sqrt{128} - \frac{1}{3}\sqrt{162}$. Для этого вынесем множители из-под знаков корней.

Упростим каждый член выражения:

$3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \cdot 2} = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

$\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$

$\frac{1}{3}\sqrt{162} = \frac{1}{3}\sqrt{81 \cdot 2} = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$6\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - 3\sqrt{2}$

Сложим и вычтем коэффициенты при общем множителе $\sqrt{2}$:

$(6 + 8 - 3)\sqrt{2} = (14 - 3)\sqrt{2} = 11\sqrt{2}$

Ответ: $11\sqrt{2}$

3)

Упростим выражение $0,7\sqrt{300} - 7\sqrt{\frac{3}{49}} + \frac{2}{3}\sqrt{108}$.

Рассмотрим каждый член по отдельности:

$0,7\sqrt{300} = 0,7\sqrt{100 \cdot 3} = 0,7 \cdot 10\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$

$7\sqrt{\frac{3}{49}} = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{49}} = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{7} = \sqrt{3}$

$\frac{2}{3}\sqrt{108} = \frac{2}{3}\sqrt{36 \cdot 3} = \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

Теперь подставим упрощенные значения в выражение:

$7\sqrt{3} - \sqrt{3} + 4\sqrt{3}$

Выполним действия с коэффициентами при $\sqrt{3}$:

$(7 - 1 + 4)\sqrt{3} = (6 + 4)\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$

Ответ: $10\sqrt{3}$

4)

Упростим выражение $\sqrt{5a} - 2\sqrt{20a} + 3\sqrt{80a}$. Предполагается, что $a \ge 0$, чтобы выражение имело смысл.

Вынесем множители из-под знака корня в каждом слагаемом:

Первый член $\sqrt{5a}$ уже упрощен.

$2\sqrt{20a} = 2\sqrt{4 \cdot 5a} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{5a} = 2 \cdot 2\sqrt{5a} = 4\sqrt{5a}$

$3\sqrt{80a} = 3\sqrt{16 \cdot 5a} = 3 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{5a} = 3 \cdot 4\sqrt{5a} = 12\sqrt{5a}$

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$\sqrt{5a} - 4\sqrt{5a} + 12\sqrt{5a}$

Приведем подобные слагаемые, вынеся общий множитель $\sqrt{5a}$ за скобки:

$(1 - 4 + 12)\sqrt{5a} = (-3 + 12)\sqrt{5a} = 9\sqrt{5a}$

Ответ: $9\sqrt{5a}$

5)

Упростим выражение $\sqrt{a^3b} - \frac{2}{a}\sqrt{a^5b}$ при условии, что $a > 0$. Также будем считать, что $b \ge 0$.

Вынесем множители из-под знаков корней.

Для первого члена: $\sqrt{a^3b} = \sqrt{a^2 \cdot ab} = \sqrt{a^2}\sqrt{ab}$. Так как $a > 0$, то $\sqrt{a^2} = a$. Следовательно, $\sqrt{a^3b} = a\sqrt{ab}$.

Для второго члена: $\sqrt{a^5b} = \sqrt{a^4 \cdot ab} = \sqrt{a^4}\sqrt{ab} = a^2\sqrt{ab}$. Тогда весь член равен $\frac{2}{a} \cdot a^2\sqrt{ab} = 2a\sqrt{ab}$.

Подставим упрощенные члены в исходное выражение:

$a\sqrt{ab} - 2a\sqrt{ab}$

Вынесем общий множитель $a\sqrt{ab}$ за скобки:

$(1 - 2)a\sqrt{ab} = -1 \cdot a\sqrt{ab} = -a\sqrt{ab}$

Ответ: $-a\sqrt{ab}$

6)

Упростим выражение $\sqrt{c^5} + 4c\sqrt{c^3} - 5c^2\sqrt{c}$. Предполагается, что $c \ge 0$, чтобы корни были определены.

Упростим каждый член, вынося множитель из-под знака корня так, чтобы под корнем осталась переменная $c$.

Первый член: $\sqrt{c^5} = \sqrt{c^4 \cdot c} = \sqrt{(c^2)^2 \cdot c} = c^2\sqrt{c}$.

Второй член: $4c\sqrt{c^3} = 4c\sqrt{c^2 \cdot c} = 4c \cdot c\sqrt{c} = 4c^2\sqrt{c}$.

Третий член $-5c^2\sqrt{c}$ уже в упрощенном виде.

Теперь подставим упрощенные члены в исходное выражение:

$c^2\sqrt{c} + 4c^2\sqrt{c} - 5c^2\sqrt{c}$

Все члены являются подобными. Вынесем общий множитель $c^2\sqrt{c}$ за скобки:

$(1 + 4 - 5)c^2\sqrt{c} = (5 - 5)c^2\sqrt{c} = 0 \cdot c^2\sqrt{c} = 0$

Ответ: $0$

551. Упростите выражение:

1) $0,5\sqrt{12} - 3\sqrt{27} + 0,4\sqrt{75};$

2) $2,5\sqrt{28b} + \frac{2}{3}\sqrt{63b} - 10\sqrt{0,07b};$

3) $\sqrt{81a^7} - 5a^3\sqrt{a} + \frac{6}{a}\sqrt{a^9}.$

1) Чтобы упростить выражение $0,5\sqrt{12} - 3\sqrt{27} + 0,4\sqrt{75}$, необходимо вынести множитель из-под знака каждого корня. Для этого разложим подкоренные числа на множители, выделяя полные квадраты:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$
Теперь подставим упрощенные корни обратно в исходное выражение:
$0,5 \cdot (2\sqrt{3}) - 3 \cdot (3\sqrt{3}) + 0,4 \cdot (5\sqrt{3})$
Выполним умножение:
$1\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$
Так как все слагаемые содержат общий множитель $\sqrt{3}$, мы можем сложить их коэффициенты:
$(1 - 9 + 2)\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$
Ответ: $-6\sqrt{3}$.

2) Для упрощения выражения $2,5\sqrt{28b} + \frac{2}{3}\sqrt{63b} - 10\sqrt{0,07b}$ (при условии $b \ge 0$) вынесем множитель из-под знака корня в каждом слагаемом:
$\sqrt{28b} = \sqrt{4 \cdot 7b} = 2\sqrt{7b}$
$\sqrt{63b} = \sqrt{9 \cdot 7b} = 3\sqrt{7b}$
$\sqrt{0,07b} = \sqrt{0,01 \cdot 7b} = 0,1\sqrt{7b}$
Подставим эти значения в выражение:
$2,5 \cdot (2\sqrt{7b}) + \frac{2}{3} \cdot (3\sqrt{7b}) - 10 \cdot (0,1\sqrt{7b})$
Выполним умножение коэффициентов:
$5\sqrt{7b} + 2\sqrt{7b} - 1\sqrt{7b}$
Приведем подобные слагаемые, сложив коэффициенты при общем множителе $\sqrt{7b}$:
$(5 + 2 - 1)\sqrt{7b} = 6\sqrt{7b}$
Ответ: $6\sqrt{7b}$.

3) Упростим выражение $\sqrt{81a^7} - 5a^3\sqrt{a} + \frac{6}{a}\sqrt{a^9}$. Для корректности выражения должно выполняться условие $a > 0$. Вынесем множители из-под знака корня:
Первый член: $\sqrt{81a^7} = \sqrt{81 \cdot a^6 \cdot a} = \sqrt{(9a^3)^2 \cdot a} = 9a^3\sqrt{a}$
Второй член уже упрощен: $-5a^3\sqrt{a}$
Третий член: $\frac{6}{a}\sqrt{a^9} = \frac{6}{a}\sqrt{a^8 \cdot a} = \frac{6}{a}\sqrt{(a^4)^2 \cdot a} = \frac{6}{a} \cdot a^4\sqrt{a} = 6a^{4-1}\sqrt{a} = 6a^3\sqrt{a}$
Подставим упрощенные члены обратно в выражение:
$9a^3\sqrt{a} - 5a^3\sqrt{a} + 6a^3\sqrt{a}$
Все слагаемые содержат общий множитель $a^3\sqrt{a}$, сложим их коэффициенты:
$(9 - 5 + 6)a^3\sqrt{a} = 10a^3\sqrt{a}$
Ответ: $10a^3\sqrt{a}$.

552. Докажите, что:

1) $\sqrt{11+4\sqrt{7}}=\sqrt{7}+2$;

2) $\sqrt{14+8\sqrt{3}}=\sqrt{8}+\sqrt{6}$.

1) Для доказательства равенства $\sqrt{11 + 4\sqrt{7}} = \sqrt{7} + 2$ преобразуем левую часть. Наша цель — представить подкоренное выражение $11 + 4\sqrt{7}$ в виде полного квадрата суммы, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Выражение под корнем: $11 + 4\sqrt{7}$.
Представим слагаемое $4\sqrt{7}$ как удвоенное произведение $2ab$:
$4\sqrt{7} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7}$.
Отсюда можно предположить, что в качестве $a$ и $b$ выступают $2$ и $\sqrt{7}$.
Проверим, соответствует ли сумма их квадратов $a^2+b^2$ первому слагаемому под корнем, то есть $11$.
Пусть $a = \sqrt{7}$ и $b = 2$.
Тогда $a^2 = (\sqrt{7})^2 = 7$ и $b^2 = 2^2 = 4$.
Сумма квадратов: $a^2 + b^2 = 7 + 4 = 11$.
Таким образом, мы можем записать подкоренное выражение в виде полного квадрата:
$11 + 4\sqrt{7} = 7 + 4\sqrt{7} + 4 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{7} + 2)^2$.
Теперь подставим это выражение обратно под корень в левой части исходного равенства:
$\sqrt{11 + 4\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7} + 2)^2}$.
По определению арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, поэтому:
$\sqrt{(\sqrt{7} + 2)^2} = |\sqrt{7} + 2|$.
Поскольку $\sqrt{7} > 0$, то сумма $\sqrt{7} + 2$ является положительным числом, и её модуль равен самому числу: $|\sqrt{7} + 2| = \sqrt{7} + 2$.
В результате мы показали, что левая часть равенства $\sqrt{11 + 4\sqrt{7}}$ равна $\sqrt{7} + 2$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

2) Для доказательства равенства $\sqrt{14 + 8\sqrt{3}} = \sqrt{8} + \sqrt{6}$ преобразуем его левую часть. Мы хотим представить подкоренное выражение $14 + 8\sqrt{3}$ в виде полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Слагаемое $8\sqrt{3}$ должно быть равно удвоенному произведению $2ab$.
$8\sqrt{3} = 2 \cdot (4\sqrt{3})$. Значит, $ab = 4\sqrt{3}$.
Сумма квадратов $a^2+b^2$ должна быть равна $14$.
В правой части доказываемого равенства стоят слагаемые $\sqrt{8}$ и $\sqrt{6}$. Проверим, могут ли они быть нашими $a$ и $b$.
Пусть $a = \sqrt{8}$ и $b = \sqrt{6}$.
Проверим сумму их квадратов:
$a^2 + b^2 = (\sqrt{8})^2 + (\sqrt{6})^2 = 8 + 6 = 14$. Это соответствует первому слагаемому.
Проверим их удвоенное произведение:
$2ab = 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{8 \cdot 6} = 2\sqrt{48} = 2\sqrt{16 \cdot 3} = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$. Это соответствует второму слагаемому.
Следовательно, подкоренное выражение можно представить в виде квадрата суммы:
$14 + 8\sqrt{3} = (\sqrt{8})^2 + 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = (\sqrt{8} + \sqrt{6})^2$.
Подставим это выражение обратно в левую часть исходного равенства:
$\sqrt{14 + 8\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{8} + \sqrt{6})^2}$.
Используя свойство $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем:
$\sqrt{(\sqrt{8} + \sqrt{6})^2} = |\sqrt{8} + \sqrt{6}|$.
Так как $\sqrt{8}$ и $\sqrt{6}$ — положительные числа, их сумма также положительна, поэтому $|\sqrt{8} + \sqrt{6}| = \sqrt{8} + \sqrt{6}$.
Мы показали, что левая часть равна $\sqrt{8} + \sqrt{6}$, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

553. Упростите выражение:

1) $(2\sqrt{3}-1)(\sqrt{27}+2)$;

2) $(\sqrt{5}-2)^2-(3+\sqrt{5})^2$;

3) $\sqrt{17-4}\cdot\sqrt{17+4}$;

4) $(7+4\sqrt{3})(2-\sqrt{3})^2$;

5) $(\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{6-2\sqrt{5}})^2$.

1) Для начала упростим выражение $\sqrt{27}$:

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$(2\sqrt{3}-1)(\sqrt{27}+2) = (2\sqrt{3}-1)(3\sqrt{3}+2)$

Раскроем скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй (по правилу FOIL):

$(2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3}) + (2\sqrt{3} \cdot 2) - (1 \cdot 3\sqrt{3}) - (1 \cdot 2) = 6 \cdot (\sqrt{3})^2 + 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 2$

Сгруппируем и упростим полученные слагаемые:

$6 \cdot 3 + 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 2 = 18 + \sqrt{3} - 2 = 16 + \sqrt{3}$

Ответ: $16 + \sqrt{3}$

2) Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В данном случае $a = \sqrt{5}-2$ и $b = 3+\sqrt{5}$.

$(\sqrt{5}-2)^2 - (3+\sqrt{5})^2 = ((\sqrt{5}-2) - (3+\sqrt{5})) \cdot ((\sqrt{5}-2) + (3+\sqrt{5}))$

Вычислим значение в каждой из скобок:

Первая скобка: $\sqrt{5}-2 - 3 - \sqrt{5} = -5$

Вторая скобка: $\sqrt{5}-2 + 3 + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} + 1$

Теперь перемножим полученные результаты:

$(-5) \cdot (2\sqrt{5} + 1) = -10\sqrt{5} - 5$

Ответ: $-5 - 10\sqrt{5}$

3) Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{\sqrt{17}-4} \cdot \sqrt{\sqrt{17}+4} = \sqrt{(\sqrt{17}-4)(\sqrt{17}+4)}$

Выражение под корнем представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{17}$ и $b=4$.

$\sqrt{(\sqrt{17})^2 - 4^2} = \sqrt{17 - 16} = \sqrt{1}$

Вычисляем корень:

$\sqrt{1} = 1$

Ответ: $1$

4) Сначала раскроем скобки с квадратом, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2-\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})$

Это выражение является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=7$ и $b=4\sqrt{3}$.

$7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$

Ответ: $1$

5) Для решения этого примера можно сначала упростить выражения под знаком корня (сложные радикалы), используя формулу $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$, где $x+y=a$ и $xy=b$.

Рассмотрим первый корень: $\sqrt{6+2\sqrt{5}}$. Здесь $a=6, b=5$. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 6, а произведение равно 5. Это числа 5 и 1.

$\sqrt{6+2\sqrt{5}} = \sqrt{5} + \sqrt{1} = \sqrt{5} + 1$.

Рассмотрим второй корень: $\sqrt{6-2\sqrt{5}}$. Аналогично, это числа 5 и 1.

$\sqrt{6-2\sqrt{5}} = \sqrt{5} - \sqrt{1} = \sqrt{5} - 1$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:

$(\sqrt{6+2\sqrt{5}} - \sqrt{6-2\sqrt{5}})^2 = ((\sqrt{5}+1) - (\sqrt{5}-1))^2$

Раскроем внутренние скобки:

$(\sqrt{5}+1 - \sqrt{5}+1)^2 = (2)^2$

Возводим в квадрат:

$2^2 = 4$

Ответ: $4$

554. Найдите значение выражения:

1) $(3\sqrt{2} + 1)(\sqrt{8} - 2)$;

2) $(3-2\sqrt{7})^2 + (3+2\sqrt{7})^2$;

3) $(10-4\sqrt{6})(2+\sqrt{6})^2$;

4) $(\sqrt{9-4\sqrt{2}} + \sqrt{9+4\sqrt{2}})^2$.

1) $(3\sqrt{2} + 1)(\sqrt{8} - 2)$

Сначала упростим выражение в скобках. Мы знаем, что $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$(3\sqrt{2} + 1)(2\sqrt{2} - 2)$

Теперь раскроем скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй (по правилу $(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd)$):

$3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \cdot (-2) + 1 \cdot 2\sqrt{2} + 1 \cdot (-2)$

Выполним умножение:

$6 \cdot (\sqrt{2})^2 - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2$

$6 \cdot 2 - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2$

$12 - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(12 - 2) + (-6\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) = 10 - 4\sqrt{2}$

Ответ: $10 - 4\sqrt{2}$

2) $(3 - 2\sqrt{7})^2 + (3 + 2\sqrt{7})^2$

Для решения используем формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Раскроем первую скобку:

$(3 - 2\sqrt{7})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{7} + (2\sqrt{7})^2 = 9 - 12\sqrt{7} + 4 \cdot 7 = 9 - 12\sqrt{7} + 28 = 37 - 12\sqrt{7}$

Раскроем вторую скобку:

$(3 + 2\sqrt{7})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{7} + (2\sqrt{7})^2 = 9 + 12\sqrt{7} + 4 \cdot 7 = 9 + 12\sqrt{7} + 28 = 37 + 12\sqrt{7}$

Теперь сложим полученные результаты:

$(37 - 12\sqrt{7}) + (37 + 12\sqrt{7}) = 37 - 12\sqrt{7} + 37 + 12\sqrt{7}$

Слагаемые $-12\sqrt{7}$ и $12\sqrt{7}$ взаимно уничтожаются:

$37 + 37 = 74$

Ответ: 74

3) $(10 - 4\sqrt{6})(2 + \sqrt{6})^2$

Сначала возведем в квадрат вторую скобку, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(2 + \sqrt{6})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 4 + 4\sqrt{6} + 6 = 10 + 4\sqrt{6}$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(10 - 4\sqrt{6})(10 + 4\sqrt{6})$

Это выражение соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=10$ и $b=4\sqrt{6}$.

Применим формулу:

$10^2 - (4\sqrt{6})^2 = 100 - (4^2 \cdot (\sqrt{6})^2) = 100 - (16 \cdot 6) = 100 - 96 = 4$

Ответ: 4

4) $(\sqrt{9 - 4\sqrt{2}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}})^2$

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{9 - 4\sqrt{2}}$ и $b = \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}$.

Раскроем скобки:

$(\sqrt{9 - 4\sqrt{2}})^2 + 2 \cdot \sqrt{9 - 4\sqrt{2}} \cdot \sqrt{9 + 4\sqrt{2}} + (\sqrt{9 + 4\sqrt{2}})^2$

Упростим первое и третье слагаемые:

$(9 - 4\sqrt{2}) + 2 \cdot \sqrt{(9 - 4\sqrt{2})(9 + 4\sqrt{2})} + (9 + 4\sqrt{2})$

Сгруппируем слагаемые:

$(9 + 9) + (-4\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) + 2 \cdot \sqrt{(9 - 4\sqrt{2})(9 + 4\sqrt{2})}$

$18 + 0 + 2 \cdot \sqrt{9^2 - (4\sqrt{2})^2}$

Выражение под корнем является разностью квадратов:

$18 + 2 \cdot \sqrt{81 - (16 \cdot 2)} = 18 + 2 \cdot \sqrt{81 - 32} = 18 + 2 \cdot \sqrt{49}$

Вычислим значение корня и найдем окончательный результат:

$18 + 2 \cdot 7 = 18 + 14 = 32$

Ответ: 32

555. Сократите дробь:

1) $ \frac{4a + 4\sqrt{5}}{a^2 - 5}; $

2) $ \frac{\sqrt{28} - 2\sqrt{2a}}{6a - 21}; $

3) $ \frac{a + 4\sqrt{ab} + 4b}{a - 4b} $, если $ a > 0, b > 0; $

4) $ \frac{x^2 - 6y}{x^2 + 6y - x\sqrt{24y}}; $

5) $ \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}; $

6) $ \frac{m\sqrt{m} - 27}{\sqrt{m} - 3}. $

1) Дана дробь $\frac{4a + 4\sqrt{5}}{a^2 - 5}$.
Чтобы сократить дробь, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель 4 за скобки:
$4a + 4\sqrt{5} = 4(a + \sqrt{5})$.
Знаменатель $a^2 - 5$ является разностью квадратов, так как $5 = (\sqrt{5})^2$. Используем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - 5 = a^2 - (\sqrt{5})^2 = (a - \sqrt{5})(a + \sqrt{5})$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{4(a + \sqrt{5})}{(a - \sqrt{5})(a + \sqrt{5})}$.
Сократим общий множитель $(a + \sqrt{5})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \ne -\sqrt{5}$):
$\frac{4}{a - \sqrt{5}}$.
Ответ: $\frac{4}{a - \sqrt{5}}$.

2) Дана дробь $\frac{\sqrt{28} - 2\sqrt{2a}}{6a - 21}$.
Упростим выражения в числителе и знаменателе.
В числителе вынесем множитель из-под корня: $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
Тогда числитель примет вид: $2\sqrt{7} - 2\sqrt{2a} = 2(\sqrt{7} - \sqrt{2a})$.
В знаменателе вынесем общий множитель 3 за скобки:
$6a - 21 = 3(2a - 7)$.
Дробь становится: $\frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{2a})}{3(2a - 7)}$.
Заметим, что выражение в знаменателе $2a - 7$ можно представить в виде разности квадратов, предварительно вынеся знак минус: $2a - 7 = -(7 - 2a) = -((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2a})^2) = -(\sqrt{7} - \sqrt{2a})(\sqrt{7} + \sqrt{2a})$.
Подставим это в дробь:
$\frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{2a})}{-3(\sqrt{7} - \sqrt{2a})(\sqrt{7} + \sqrt{2a})}$.
Сократим на общий множитель $(\sqrt{7} - \sqrt{2a})$ (при условии, что $a \ne \frac{7}{2}$):
$\frac{2}{-3(\sqrt{7} + \sqrt{2a})} = -\frac{2}{3(\sqrt{7} + \sqrt{2a})}$.
Ответ: $-\frac{2}{3(\sqrt{7} + \sqrt{2a})}$.

3) Дана дробь $\frac{a + 4\sqrt{ab} + 4b}{a - 4b}$, при $a > 0, b > 0$.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $a + 4\sqrt{ab} + 4b$ является полным квадратом. Представим его в виде $(\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot (2\sqrt{b}) + (2\sqrt{b})^2$.
Используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, получаем:
$a + 4\sqrt{ab} + 4b = (\sqrt{a} + 2\sqrt{b})^2$.
Знаменатель $a - 4b$ является разностью квадратов, так как $a = (\sqrt{a})^2$ и $4b = (2\sqrt{b})^2$:
$a - 4b = (\sqrt{a})^2 - (2\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - 2\sqrt{b})(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - 2\sqrt{b})(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})}$.
Сократим на общий множитель $(\sqrt{a} + 2\sqrt{b})$ (так как $a>0, b>0$, то $\sqrt{a} + 2\sqrt{b} \ne 0$):
$\frac{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}{\sqrt{a} - 2\sqrt{b}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}{\sqrt{a} - 2\sqrt{b}}$.

4) Дана дробь $\frac{x^2 - 6y}{x^2 + 6y - x\sqrt{24y}}$.
Преобразуем знаменатель. Упростим корень: $\sqrt{24y} = \sqrt{4 \cdot 6y} = 2\sqrt{6y}$.
Знаменатель: $x^2 + 6y - x(2\sqrt{6y}) = x^2 - 2x\sqrt{6y} + 6y$.
Это выражение является полным квадратом разности. Представим его как $x^2 - 2 \cdot x \cdot \sqrt{6y} + (\sqrt{6y})^2$.
Используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем:
$x^2 - 2x\sqrt{6y} + 6y = (x - \sqrt{6y})^2$.
Теперь рассмотрим числитель $x^2 - 6y$. Это разность квадратов:
$x^2 - 6y = x^2 - (\sqrt{6y})^2 = (x - \sqrt{6y})(x + \sqrt{6y})$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(x - \sqrt{6y})(x + \sqrt{6y})}{(x - \sqrt{6y})^2}$.
Сократим на общий множитель $(x - \sqrt{6y})$ (при условии, что $x \ne \sqrt{6y}$):
$\frac{x + \sqrt{6y}}{x - \sqrt{6y}}$.
Ответ: $\frac{x + \sqrt{6y}}{x - \sqrt{6y}}$.

5) Дана дробь $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}$.
Разложим знаменатель на множители. Знаменатель является суммой кубов.
Представим $\sqrt{a^3} = (\sqrt{a})^3$ и $\sqrt{b^3} = (\sqrt{b})^3$.
Знаменатель: $(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3$.
Используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$:
$(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2) = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)$.
Подставим разложенное выражение в дробь:
$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)}$.
Сократим на общий множитель $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ (при условии, что $a$ и $b$ не равны нулю одновременно):
$\frac{1}{a - \sqrt{ab} + b}$.
Ответ: $\frac{1}{a - \sqrt{ab} + b}$.

6) Дана дробь $\frac{m\sqrt{m} - 27}{\sqrt{m} - 3}$.
Разложим числитель на множители. Числитель является разностью кубов.
Представим $m\sqrt{m} = (\sqrt{m})^3$ и $27 = 3^3$.
Числитель: $(\sqrt{m})^3 - 3^3$.
Используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:
$(\sqrt{m})^3 - 3^3 = (\sqrt{m} - 3)((\sqrt{m})^2 + \sqrt{m} \cdot 3 + 3^2) = (\sqrt{m} - 3)(m + 3\sqrt{m} + 9)$.
Подставим разложенное выражение в дробь:
$\frac{(\sqrt{m} - 3)(m + 3\sqrt{m} + 9)}{\sqrt{m} - 3}$.
Сократим на общий множитель $(\sqrt{m} - 3)$ (при условии, что $m \ne 9$):
$m + 3\sqrt{m} + 9$.
Ответ: $m + 3\sqrt{m} + 9$.

556. Сократите дробь:

1) $ \frac{a-b}{\sqrt{11b}-\sqrt{11a}} $;

2) $ \frac{2a + 10\sqrt{2ab} + 25b}{6a - 75b} $, если $a > 0, b > 0;$

3) $ \frac{a - 2\sqrt{a} + 4}{a\sqrt{a} + 8} $.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{a - b}{\sqrt{11b} - \sqrt{11a}}$, преобразуем её числитель и знаменатель.
Сначала вынесем общий множитель в знаменателе:
$\sqrt{11b} - \sqrt{11a} = \sqrt{11}(\sqrt{b} - \sqrt{a})$.
Далее преобразуем числитель, представив его как разность квадратов. Для этого вынесем знак минус за скобки:
$a - b = -(b - a)$.
Поскольку $b = (\sqrt{b})^2$ и $a = (\sqrt{a})^2$, то $b-a$ можно разложить по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$b - a = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2 = (\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})$.
Следовательно, числитель равен $a - b = -(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})$.
Теперь подставим преобразованные выражения в исходную дробь:
$\frac{-(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})}{\sqrt{11}(\sqrt{b} - \sqrt{a})}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{b} - \sqrt{a})$:
$-\frac{\sqrt{b} + \sqrt{a}}{\sqrt{11}}$ или $-\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{11}}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{11}}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{2a + 10\sqrt{2ab} + 25b}{6a - 75b}$ при $a > 0, b > 0$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $2a + 10\sqrt{2ab} + 25b$ представляет собой полный квадрат суммы. Заметим, что $2a = (\sqrt{2a})^2$, $25b = (5\sqrt{b})^2$, а средний член $10\sqrt{2ab} = 2 \cdot \sqrt{2a} \cdot 5\sqrt{b}$.
Таким образом, по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, получаем:
$2a + 10\sqrt{2ab} + 25b = (\sqrt{2a} + 5\sqrt{b})^2$.
Знаменатель $6a - 75b$ можно преобразовать, вынеся за скобки общий множитель 3:
$6a - 75b = 3(2a - 25b)$.
Выражение в скобках $2a - 25b$ является разностью квадратов, так как $2a=(\sqrt{2a})^2$ и $25b=(5\sqrt{b})^2$:
$2a - 25b = (\sqrt{2a} - 5\sqrt{b})(\sqrt{2a} + 5\sqrt{b})$.
Значит, знаменатель равен $3(\sqrt{2a} - 5\sqrt{b})(\sqrt{2a} + 5\sqrt{b})$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(\sqrt{2a} + 5\sqrt{b})^2}{3(\sqrt{2a} - 5\sqrt{b})(\sqrt{2a} + 5\sqrt{b})}$.
Сократим на общий множитель $(\sqrt{2a} + 5\sqrt{b})$:
$\frac{\sqrt{2a} + 5\sqrt{b}}{3(\sqrt{2a} - 5\sqrt{b})}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2a} + 5\sqrt{b}}{3(\sqrt{2a} - 5\sqrt{b})}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{a - 2\sqrt{a} + 4}{a\sqrt{a} + 8}$, воспользуемся формулой суммы кубов.
Знаменатель $a\sqrt{a} + 8$ можно представить как $(\sqrt{a})^3 + 2^3$.
Применим формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, где $x=\sqrt{a}$ и $y=2$:
$a\sqrt{a} + 8 = (\sqrt{a})^3 + 2^3 = (\sqrt{a} + 2)((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a} \cdot 2 + 2^2) = (\sqrt{a} + 2)(a - 2\sqrt{a} + 4)$.
Теперь подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:
$\frac{a - 2\sqrt{a} + 4}{(\sqrt{a} + 2)(a - 2\sqrt{a} + 4)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a - 2\sqrt{a} + 4)$:
$\frac{1}{\sqrt{a} + 2}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a} + 2}$.