Номер 551, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 551, страница 140.

Условие.

551. Упростите выражение:

1) $0,5\sqrt{12} - 3\sqrt{27} + 0,4\sqrt{75};$

2) $2,5\sqrt{28b} + \frac{2}{3}\sqrt{63b} - 10\sqrt{0,07b};$

3) $\sqrt{81a^7} - 5a^3\sqrt{a} + \frac{6}{a}\sqrt{a^9}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить выражение $0,5\sqrt{12} - 3\sqrt{27} + 0,4\sqrt{75}$, необходимо вынести множитель из-под знака каждого корня. Для этого разложим подкоренные числа на множители, выделяя полные квадраты:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$
Теперь подставим упрощенные корни обратно в исходное выражение:
$0,5 \cdot (2\sqrt{3}) - 3 \cdot (3\sqrt{3}) + 0,4 \cdot (5\sqrt{3})$
Выполним умножение:
$1\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$
Так как все слагаемые содержат общий множитель $\sqrt{3}$, мы можем сложить их коэффициенты:
$(1 - 9 + 2)\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$
Ответ: $-6\sqrt{3}$.

2) Для упрощения выражения $2,5\sqrt{28b} + \frac{2}{3}\sqrt{63b} - 10\sqrt{0,07b}$ (при условии $b \ge 0$) вынесем множитель из-под знака корня в каждом слагаемом:
$\sqrt{28b} = \sqrt{4 \cdot 7b} = 2\sqrt{7b}$
$\sqrt{63b} = \sqrt{9 \cdot 7b} = 3\sqrt{7b}$
$\sqrt{0,07b} = \sqrt{0,01 \cdot 7b} = 0,1\sqrt{7b}$
Подставим эти значения в выражение:
$2,5 \cdot (2\sqrt{7b}) + \frac{2}{3} \cdot (3\sqrt{7b}) - 10 \cdot (0,1\sqrt{7b})$
Выполним умножение коэффициентов:
$5\sqrt{7b} + 2\sqrt{7b} - 1\sqrt{7b}$
Приведем подобные слагаемые, сложив коэффициенты при общем множителе $\sqrt{7b}$:
$(5 + 2 - 1)\sqrt{7b} = 6\sqrt{7b}$
Ответ: $6\sqrt{7b}$.

3) Упростим выражение $\sqrt{81a^7} - 5a^3\sqrt{a} + \frac{6}{a}\sqrt{a^9}$. Для корректности выражения должно выполняться условие $a > 0$. Вынесем множители из-под знака корня:
Первый член: $\sqrt{81a^7} = \sqrt{81 \cdot a^6 \cdot a} = \sqrt{(9a^3)^2 \cdot a} = 9a^3\sqrt{a}$
Второй член уже упрощен: $-5a^3\sqrt{a}$
Третий член: $\frac{6}{a}\sqrt{a^9} = \frac{6}{a}\sqrt{a^8 \cdot a} = \frac{6}{a}\sqrt{(a^4)^2 \cdot a} = \frac{6}{a} \cdot a^4\sqrt{a} = 6a^{4-1}\sqrt{a} = 6a^3\sqrt{a}$
Подставим упрощенные члены обратно в выражение:
$9a^3\sqrt{a} - 5a^3\sqrt{a} + 6a^3\sqrt{a}$
Все слагаемые содержат общий множитель $a^3\sqrt{a}$, сложим их коэффициенты:
$(9 - 5 + 6)a^3\sqrt{a} = 10a^3\sqrt{a}$
Ответ: $10a^3\sqrt{a}$.