Номер 558, страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 558, страница 141.

Условие.

558. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2}$;

2) $\frac{8}{\sqrt{10} - \sqrt{2}};$

3) $\frac{9}{\sqrt{x} + \sqrt{y}};$

4) $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2}$, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным выражением для $\sqrt{5} - 2$ является $\sqrt{5} + 2$.

Выполним умножение:

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)}$

В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$

В числителе раскроем скобки:

$\sqrt{5}(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 2 = 5 + 2\sqrt{5}$

В результате получаем дробь:

$\frac{5 + 2\sqrt{5}}{1} = 5 + 2\sqrt{5}$

Ответ: $5 + 2\sqrt{5}$

2) Для дроби $\frac{8}{\sqrt{10} - \sqrt{2}}$ сопряженным выражением для знаменателя является $\sqrt{10} + \sqrt{2}$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$\frac{8}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} = \frac{8(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{(\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{10} + \sqrt{2})}$

Преобразуем знаменатель по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{10} + \sqrt{2}) = (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2 = 10 - 2 = 8$

Подставим полученное значение в выражение и сократим дробь:

$\frac{8(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{8} = \sqrt{10} + \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{10} + \sqrt{2}$

3) Для дроби $\frac{9}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$ сопряженным выражением для знаменателя является $\sqrt{x} - \sqrt{y}$. Умножим числитель и знаменатель на него (при условии, что $x \ge 0$, $y \ge 0$ и $x \neq y$).

$\frac{9}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{9(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})}$

Применим формулу разности квадратов к знаменателю:

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y$

В результате получаем:

$\frac{9(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x - y}$

Ответ: $\frac{9(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x - y}$

4) Для дроби $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ сопряженным выражением для знаменателя является $2 - \sqrt{2}$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{(2 - \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{(2 - \sqrt{2})^2}{2^2 - (\sqrt{2})^2}$

Вычислим значение знаменателя:

$2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2$

Теперь преобразуем числитель, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2 - \sqrt{2})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 6 - 4\sqrt{2}$

Подставим полученные выражения в дробь и упростим:

$\frac{6 - 4\sqrt{2}}{2} = \frac{2(3 - 2\sqrt{2})}{2} = 3 - 2\sqrt{2}$

Ответ: $3 - 2\sqrt{2}$