Номер 564, страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 564, страница 142.

Условие.

564. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{-m^{19}}$;
2) $\sqrt{a^{23}b^{24}}$, если $b \neq 0$;
3) $\sqrt{49a^2b}$, если $a < 0$;
4) $\sqrt{a^9b^9}$;
5) $\sqrt{27x^{15}y^{34}}$, если $y < 0$;
6) $\sqrt{-50m^6n^6p^7}$, если $m > 0, n > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{-m^{19}} $.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $ -m^{19} \ge 0 $. Умножив обе части на -1, получим $ m^{19} \le 0 $, что означает $ m \le 0 $.
Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых можно извлечь квадратный корень. Для этого степень переменной должна быть четной.
$ \sqrt{-m^{19}} = \sqrt{-1 \cdot m^{18} \cdot m} = \sqrt{m^{18} \cdot (-m)} $
Теперь вынесем множитель $ m^{18} $ из-под корня. Используем свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $.
$ \sqrt{m^{18} \cdot (-m)} = \sqrt{(m^9)^2 \cdot (-m)} = |m^9|\sqrt{-m} $
Так как по условию $ m \le 0 $, то $ m^9 $ (нечетная степень) также будет меньше или равна нулю ($ m^9 \le 0 $).
Следовательно, модуль $ |m^9| $ раскрывается как $ -m^9 $.
Получаем: $ -m^9\sqrt{-m} $.
Ответ: $ -m^9\sqrt{-m} $

2) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{a^{23}b^{24}} $, если $ b \ne 0 $.
Подкоренное выражение $ a^{23}b^{24} $ должно быть неотрицательным. Поскольку $ b^{24} = (b^{12})^2 \ge 0 $ для любого $ b $, то для выполнения условия $ a^{23}b^{24} \ge 0 $ необходимо, чтобы $ a^{23} \ge 0 $, что означает $ a \ge 0 $.
Представим степени в виде произведения:
$ \sqrt{a^{23}b^{24}} = \sqrt{a^{22} \cdot a \cdot b^{24}} = \sqrt{(a^{11})^2 \cdot (b^{12})^2 \cdot a} $
Вынесем множители из-под корня:
$ \sqrt{(a^{11})^2 \cdot (b^{12})^2 \cdot a} = |a^{11}| \cdot |b^{12}| \cdot \sqrt{a} $
Раскроем модули:
Так как $ a \ge 0 $, то $ a^{11} \ge 0 $, следовательно, $ |a^{11}| = a^{11} $.
Выражение $ b^{12} $ всегда неотрицательно, поэтому $ |b^{12}| = b^{12} $.
Итоговый результат: $ a^{11}b^{12}\sqrt{a} $.
Ответ: $ a^{11}b^{12}\sqrt{a} $

3) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{49a^2b} $, если $ a < 0 $.
Подкоренное выражение $ 49a^2b \ge 0 $. Так как $ 49 > 0 $ и $ a^2 \ge 0 $, то для выполнения этого условия необходимо, чтобы $ b \ge 0 $.
$ \sqrt{49a^2b} = \sqrt{7^2 \cdot a^2 \cdot b} $
Выносим множители из-под корня:
$ \sqrt{7^2 \cdot a^2 \cdot b} = \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} = 7 \cdot |a| \cdot \sqrt{b} $
По условию $ a < 0 $, поэтому модуль $ |a| $ раскрывается как $ -a $.
Подставляем значение модуля: $ 7 \cdot (-a) \cdot \sqrt{b} = -7a\sqrt{b} $.
Ответ: $ -7a\sqrt{b} $

4) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{a^9b^9} $.
Подкоренное выражение $ a^9b^9 = (ab)^9 $ должно быть неотрицательным, откуда следует, что $ ab \ge 0 $. Это значит, что переменные $ a $ и $ b $ имеют одинаковые знаки или равны нулю.
Представим выражение в удобном для извлечения корня виде:
$ \sqrt{a^9b^9} = \sqrt{a^8 \cdot a \cdot b^8 \cdot b} = \sqrt{(a^8b^8) \cdot (ab)} = \sqrt{(a^4b^4)^2 \cdot (ab)} $
Вынесем множитель из-под корня:
$ |a^4b^4|\sqrt{ab} $
Так как степени 4 — четные, $ a^4 \ge 0 $ и $ b^4 \ge 0 $, их произведение $ a^4b^4 \ge 0 $. Следовательно, $ |a^4b^4| = a^4b^4 $.
Получаем: $ a^4b^4\sqrt{ab} $.
Ответ: $ a^4b^4\sqrt{ab} $

5) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{27x^{15}y^{34}} $, если $ y < 0 $.
Подкоренное выражение $ 27x^{15}y^{34} \ge 0 $. Поскольку $ 27 > 0 $ и $ y^{34}=(y^{17})^2 \ge 0 $, то для выполнения условия необходимо, чтобы $ x^{15} \ge 0 $, что означает $ x \ge 0 $.
Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей:
$ \sqrt{27x^{15}y^{34}} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot x^{14} \cdot x \cdot y^{34}} = \sqrt{3^2 \cdot (x^7)^2 \cdot (y^{17})^2 \cdot 3x} $
Вынесем множители из-под корня:
$ \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{(x^7)^2} \cdot \sqrt{(y^{17})^2} \cdot \sqrt{3x} = 3 \cdot |x^7| \cdot |y^{17}| \cdot \sqrt{3x} $
Раскроем модули с учетом условий:
Так как $ x \ge 0 $, то $ x^7 \ge 0 $, следовательно, $ |x^7| = x^7 $.
По условию $ y < 0 $, тогда $ y^{17} $ (нечетная степень) будет отрицательной ($ y^{17} < 0 $), следовательно, $ |y^{17}| = -y^{17} $.
Подставляем раскрытые модули в выражение: $ 3 \cdot x^7 \cdot (-y^{17}) \cdot \sqrt{3x} = -3x^7y^{17}\sqrt{3x} $.
Ответ: $ -3x^7y^{17}\sqrt{3x} $

6) Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{-50m^6n^6p^7} $, если $ m > 0, n > 0 $.
Подкоренное выражение $ -50m^6n^6p^7 $ должно быть неотрицательным. Так как $ m > 0, n > 0 $, то $ m^6 > 0 $ и $ n^6 > 0 $. Множитель $ -50 $ отрицателен. Для того чтобы все выражение было неотрицательным, необходимо, чтобы $ p^7 $ было неположительным: $ p^7 \le 0 $, что означает $ p \le 0 $.
Представим подкоренное выражение в виде произведения:
$ \sqrt{-50m^6n^6p^7} = \sqrt{-1 \cdot 25 \cdot 2 \cdot m^6 \cdot n^6 \cdot p^6 \cdot p} = \sqrt{25 \cdot m^6 \cdot n^6 \cdot p^6 \cdot (-2p)} $
$ = \sqrt{5^2 \cdot (m^3)^2 \cdot (n^3)^2 \cdot (p^3)^2 \cdot (-2p)} $
Вынесем множители из-под корня:
$ 5 \cdot |m^3| \cdot |n^3| \cdot |p^3| \cdot \sqrt{-2p} $
Раскроем модули с учетом условий:
Так как $ m > 0 $, то $ m^3 > 0 $ и $ |m^3| = m^3 $.
Так как $ n > 0 $, то $ n^3 > 0 $ и $ |n^3| = n^3 $.
Так как $ p \le 0 $, то $ p^3 \le 0 $ и $ |p^3| = -p^3 $.
Подставляем значения: $ 5 \cdot m^3 \cdot n^3 \cdot (-p^3) \cdot \sqrt{-2p} = -5m^3n^3p^3\sqrt{-2p} $.
Ответ: $ -5m^3n^3p^3\sqrt{-2p} $