Номер 569, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 569, страница 143.
№569 (с. 143)
Условие. №569 (с. 143)
скриншот условия

569. Упростите выражение:
1) $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$;
2) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$;
3) $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$.
Решение 1. №569 (с. 143)



Решение 2. №569 (с. 143)

Решение 3. №569 (с. 143)

Решение 4. №569 (с. 143)

Решение 5. №569 (с. 143)

Решение 7. №569 (с. 143)

Решение 8. №569 (с. 143)
1)
Для упрощения выражения воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$. Постараемся представить подкоренное выражение $3+2\sqrt{2}$ в виде полного квадрата $(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2 = m+n+2\sqrt{mn}$.
Сравнивая $(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2$ с выражением $3+2\sqrt{2}$, мы ищем два числа $m$ и $n$ такие, что их сумма $m+n=3$, а их произведение $mn=2$. По теореме Виета или простым подбором находим, что это числа 2 и 1.
Тогда подкоренное выражение можно переписать следующим образом:
$3+2\sqrt{2} = (2+1) + 2\sqrt{2 \cdot 1} = (\sqrt{2})^2+(\sqrt{1})^2+2\sqrt{2}\sqrt{1} = (\sqrt{2}+1)^2$.
Следовательно, исходное выражение равно:
$\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = |\sqrt{2}+1|$.
Так как $\sqrt{2}+1 > 0$, то модуль можно опустить.
Ответ: $\sqrt{2}+1$.
2)
Упростим выражение $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$. Сначала приведем его к виду $\sqrt{A+2\sqrt{B}}$, внеся множитель 2 под знак внутреннего корня:
$\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{7+2 \cdot 2\sqrt{3}} = \sqrt{7+2\sqrt{2^2 \cdot 3}} = \sqrt{7+2\sqrt{12}}$.
Теперь ищем числа $m$ и $n$ такие, что $m+n=7$ и $mn=12$. Очевидно, что это числа 4 и 3.
Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:
$7+2\sqrt{12} = (4+3)+2\sqrt{4 \cdot 3} = (\sqrt{4})^2+(\sqrt{3})^2+2\sqrt{4}\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2$.
Значит, $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}|$.
Так как $2+\sqrt{3} > 0$, то модуль опускаем.
Ответ: $2+\sqrt{3}$.
3)
Упростим выражение $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$. Оно уже имеет вид $\sqrt{A+2\sqrt{B}}$.
Ищем числа $m$ и $n$, для которых $m+n=11$ и $mn=30$. Легко подобрать эти числа: 6 и 5.
Запишем подкоренное выражение как квадрат суммы:
$11+2\sqrt{30} = (6+5)+2\sqrt{6 \cdot 5} = (\sqrt{6})^2+(\sqrt{5})^2+2\sqrt{6}\sqrt{5} = (\sqrt{6}+\sqrt{5})^2$.
Таким образом, $\sqrt{11+2\sqrt{30}} = \sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{5})^2} = |\sqrt{6}+\sqrt{5}|$.
Так как $\sqrt{6}+\sqrt{5} > 0$, то модуль можно опустить.
Ответ: $\sqrt{6}+\sqrt{5}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 569 расположенного на странице 143 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №569 (с. 143), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.