Номер 569, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 569, страница 143.

Условие.

569. Упростите выражение:

1) $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$;

2) $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$;

3) $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для упрощения выражения воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$. Постараемся представить подкоренное выражение $3+2\sqrt{2}$ в виде полного квадрата $(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2 = m+n+2\sqrt{mn}$.

Сравнивая $(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2$ с выражением $3+2\sqrt{2}$, мы ищем два числа $m$ и $n$ такие, что их сумма $m+n=3$, а их произведение $mn=2$. По теореме Виета или простым подбором находим, что это числа 2 и 1.

Тогда подкоренное выражение можно переписать следующим образом:
$3+2\sqrt{2} = (2+1) + 2\sqrt{2 \cdot 1} = (\sqrt{2})^2+(\sqrt{1})^2+2\sqrt{2}\sqrt{1} = (\sqrt{2}+1)^2$.

Следовательно, исходное выражение равно:
$\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = |\sqrt{2}+1|$.
Так как $\sqrt{2}+1 > 0$, то модуль можно опустить.

Ответ: $\sqrt{2}+1$.

2)

Упростим выражение $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$. Сначала приведем его к виду $\sqrt{A+2\sqrt{B}}$, внеся множитель 2 под знак внутреннего корня:

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{7+2 \cdot 2\sqrt{3}} = \sqrt{7+2\sqrt{2^2 \cdot 3}} = \sqrt{7+2\sqrt{12}}$.

Теперь ищем числа $m$ и $n$ такие, что $m+n=7$ и $mn=12$. Очевидно, что это числа 4 и 3.

Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:
$7+2\sqrt{12} = (4+3)+2\sqrt{4 \cdot 3} = (\sqrt{4})^2+(\sqrt{3})^2+2\sqrt{4}\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2$.

Значит, $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}|$.
Так как $2+\sqrt{3} > 0$, то модуль опускаем.

Ответ: $2+\sqrt{3}$.

3)

Упростим выражение $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$. Оно уже имеет вид $\sqrt{A+2\sqrt{B}}$.

Ищем числа $m$ и $n$, для которых $m+n=11$ и $mn=30$. Легко подобрать эти числа: 6 и 5.

Запишем подкоренное выражение как квадрат суммы:
$11+2\sqrt{30} = (6+5)+2\sqrt{6 \cdot 5} = (\sqrt{6})^2+(\sqrt{5})^2+2\sqrt{6}\sqrt{5} = (\sqrt{6}+\sqrt{5})^2$.

Таким образом, $\sqrt{11+2\sqrt{30}} = \sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{5})^2} = |\sqrt{6}+\sqrt{5}|$.
Так как $\sqrt{6}+\sqrt{5} > 0$, то модуль можно опустить.

Ответ: $\sqrt{6}+\sqrt{5}$.