Номер 571, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 571, страница 143.

Условие.

571. Упростите выражение:

$\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}} + ... + \frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для упрощения данного выражения преобразуем каждое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Общий вид слагаемого в этой сумме — $\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$.

Чтобы избавиться от корней в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $\sqrt{k+1} - \sqrt{k}$. Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})}{(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+1})^2 - (\sqrt{k})^2} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(k+1) - k} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{1} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$.

Теперь применим это преобразование к каждому члену исходной суммы, начиная с первого, где $k=1$ (так как $1 = \sqrt{1}$), и заканчивая последним, где $k=99$.

Исходное выражение:$S = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$

После преобразования каждого слагаемого получаем:$S = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + \dots + (\sqrt{100} - \sqrt{99})$

Эта сумма является телескопической. При раскрытии скобок все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:

$S = -\sqrt{1} + \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{4} - \sqrt{4} + \dots - \sqrt{99} + \sqrt{100}$

В результате остаются только первый член из первого слагаемого и второй член из последнего слагаемого:

$S = -\sqrt{1} + \sqrt{100}$

Вычислим результат:

$S = -1 + 10 = 9$

Ответ: 9