Номер 572, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 572, страница 143.

Условие.

572. Докажите, что:

$\frac{1}{\sqrt{3}+1} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{91}+\sqrt{89}} = \frac{\sqrt{91}-1}{2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Стратегия состоит в том, чтобы для каждого слагаемого избавиться от иррациональности в знаменателе.

Рассмотрим общий член суммы вида $ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{a} - \sqrt{b} $: $ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} $.

Применим это преобразование к каждому слагаемому в левой части равенства. Заметим, что для каждого знаменателя вида $ \sqrt{k} + \sqrt{k-2} $ разность подкоренных выражений $ k - (k-2) $ всегда равна 2.

Первый член: $ \frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{1}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{1}}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} $.

Второй член: $ \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} $.

Третий член: $ \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} $.

...и так далее до последнего члена...

Последний член: $ \frac{1}{\sqrt{91} + \sqrt{89}} = \frac{\sqrt{91} - \sqrt{89}}{91 - 89} = \frac{\sqrt{91} - \sqrt{89}}{2} $.

Теперь просуммируем все преобразованные дроби, чтобы найти значение левой части (ЛЧ):

ЛЧ = $ \frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} + \dots + \frac{\sqrt{91} - \sqrt{89}}{2} $.

Вынесем общий знаменатель 2:

ЛЧ = $ \frac{(\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{5}) + \dots + (\sqrt{91} - \sqrt{89})}{2} $.

В числителе дроби слагаемые образуют так называемую телескопическую сумму. Раскроем скобки в числителе:

$ -1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{7} - \dots - \sqrt{89} + \sqrt{91} $.

Видно, что все промежуточные члены взаимно уничтожаются: $ \sqrt{3} $ сокращается с $ -\sqrt{3} $, $ \sqrt{5} $ с $ -\sqrt{5} $, и так до $ \sqrt{89} $ с $ -\sqrt{89} $. В результате остаются только первый и последний члены: $ -1 $ и $ \sqrt{91} $.

Таким образом, значение числителя равно $ \sqrt{91} - 1 $.

Следовательно, вся левая часть равна:

ЛЧ = $ \frac{\sqrt{91} - 1}{2} $.

Мы получили, что левая часть тождества равна правой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное равенство доказано.