Номер 574, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 574, страница 143.

Условие.

574. Упростите выражение:

1) $\sqrt{10 + 8\sqrt{2} + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}}$;

2) $\sqrt{22 + 6\sqrt{3} + \sqrt{13 + \sqrt{48}}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Выражение в задаче записано как $\sqrt{10+8\sqrt{2}+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}$. Если решать его в таком виде, то после упрощения внутреннего корня получается выражение, которое дальше не упрощается стандартными методами. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка в форматировании, и имелось в виду вложенное выражение. Решим предполагаемый вариант задачи, который имеет красивое решение.
Предполагаемый вид выражения: $\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}$
Решение будем проводить "изнутри наружу", последовательно упрощая вложенные радикалы.

Шаг 1: Упростим самый внутренний корень $\sqrt{9+4\sqrt{2}}$.
Для этого представим подкоренное выражение в виде полного квадрата $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
$9+4\sqrt{2} = 9+2\cdot 2\sqrt{2}$. Мы ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=9$ и $2ab = 4\sqrt{2}$ (или $ab=2\sqrt{2}$).
Подбором находим, что $a=1$ и $b=2\sqrt{2}$ удовлетворяют этим условиям: $1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 4\cdot 2 = 1+8=9$.
Следовательно, $9+4\sqrt{2} = (1+2\sqrt{2})^2$.
Тогда $\sqrt{9+4\sqrt{2}} = \sqrt{(1+2\sqrt{2})^2} = 1+2\sqrt{2}$.

Шаг 2: Подставим полученный результат в следующий по вложенности корень.
$\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}} = \sqrt{2+(1+2\sqrt{2})} = \sqrt{3+2\sqrt{2}}$.
Упростим $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$, снова используя формулу полного квадрата.
$3+2\sqrt{2} = 1+2+2\cdot 1 \cdot \sqrt{2} = 1^2+(\sqrt{2})^2+2\cdot 1 \cdot \sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^2$.
Тогда $\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(1+\sqrt{2})^2} = 1+\sqrt{2}$.

Шаг 3: Подставим результат во внешнее выражение.
$\sqrt{10+8\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}} = \sqrt{10+8(1+\sqrt{2})} = \sqrt{10+8+8\sqrt{2}} = \sqrt{18+8\sqrt{2}}$.

Шаг 4: Упростим полученное выражение $\sqrt{18+8\sqrt{2}}$.
$18+8\sqrt{2} = 18+2\cdot 4\sqrt{2} = 18+2\sqrt{16\cdot 2} = 18+2\sqrt{32}$.
Ищем числа $a$ и $b$ такие, что $a+b=18$ и $ab=32$. Это числа $16$ и $2$.
Значит, $18+2\sqrt{32} = 16+2+2\sqrt{16\cdot 2} = (\sqrt{16}+\sqrt{2})^2 = (4+\sqrt{2})^2$.
Следовательно, $\sqrt{18+8\sqrt{2}} = \sqrt{(4+\sqrt{2})^2} = 4+\sqrt{2}$.

Ответ: $4+\sqrt{2}$.

2) Как и в предыдущем случае, выражение в его исходной записи $\sqrt{22+6\sqrt{3}+\sqrt{13+\sqrt{48}}}$ не поддается упрощению до простого вида. Предположим, что и здесь имеется опечатка в форматировании, и решим более вероятный вариант задачи.
Предполагаемый вид выражения: $\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}}$
Решаем пошагово, начиная с самого внутреннего радикала.

Шаг 1: Упростим $\sqrt{13+\sqrt{48}}$.
Сначала упростим $\sqrt{48} = \sqrt{16\cdot 3} = 4\sqrt{3}$.
Выражение становится $\sqrt{13+4\sqrt{3}}$. Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата.
$13+4\sqrt{3} = 13+2\cdot 2\sqrt{3} = 13+2\sqrt{4\cdot 3} = 13+2\sqrt{12}$.
Ищем числа $a$ и $b$ такие, что $a+b=13$ и $ab=12$. Это числа $12$ и $1$.
Значит, $13+2\sqrt{12} = 12+1+2\sqrt{12\cdot 1} = (\sqrt{12}+\sqrt{1})^2 = (2\sqrt{3}+1)^2$.
Тогда $\sqrt{13+4\sqrt{3}} = \sqrt{(1+2\sqrt{3})^2} = 1+2\sqrt{3}$.

Шаг 2: Подставим полученный результат в следующий корень.
$\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}} = \sqrt{3+(1+2\sqrt{3})} = \sqrt{4+2\sqrt{3}}$.
Упростим $\sqrt{4+2\sqrt{3}}$.
$4+2\sqrt{3} = 3+1+2\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2+1^2+2\cdot\sqrt{3}\cdot 1 = (\sqrt{3}+1)^2$.
Тогда $\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1$.

Шаг 3: Подставим результат во внешнее выражение.
$\sqrt{22+6\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}} = \sqrt{22+6(\sqrt{3}+1)} = \sqrt{22+6\sqrt{3}+6} = \sqrt{28+6\sqrt{3}}$.

Шаг 4: Упростим $\sqrt{28+6\sqrt{3}}$.
$28+6\sqrt{3} = 28+2\cdot 3\sqrt{3} = 28+2\sqrt{9\cdot 3} = 28+2\sqrt{27}$.
Ищем числа $a$ и $b$ такие, что $a+b=28$ и $ab=27$. Это числа $27$ и $1$.
Значит, $28+2\sqrt{27} = 27+1+2\sqrt{27\cdot 1} = (\sqrt{27}+\sqrt{1})^2$.
$\sqrt{27} = \sqrt{9\cdot 3} = 3\sqrt{3}$.
Следовательно, $\sqrt{28+6\sqrt{3}} = \sqrt{(3\sqrt{3}+1)^2} = 3\sqrt{3}+1$.

Ответ: $1+3\sqrt{3}$.