Номер 570, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 570, страница 143.
№570 (с. 143)
Условие. №570 (с. 143)
скриншот условия

570. Упростите выражение:
1) $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$;
2) $\sqrt{15+6\sqrt{6}}$;
3) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$.
Решение 1. №570 (с. 143)



Решение 2. №570 (с. 143)

Решение 3. №570 (с. 143)

Решение 4. №570 (с. 143)

Решение 5. №570 (с. 143)

Решение 7. №570 (с. 143)

Решение 8. №570 (с. 143)
1) $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$
Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой выделения полного квадрата под корнем, которая основывается на формуле квадрата суммы: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$.
Сравним наше выражение $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$ с общей формулой $\sqrt{A+2\sqrt{B}} = \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}$. Мы видим, что $A=a+b=8$ и $B=ab=7$.
Нам необходимо найти два числа $a$ и $b$, которые удовлетворяют системе уравнений:
$\begin{cases} a+b=8 \\ ab=7 \end{cases}$
Путем подбора легко находим, что $a=7$ и $b=1$. Проверим: $7+1=8$ и $7 \cdot 1=7$.
Следовательно, подкоренное выражение можно представить в виде полного квадрата:
$8+2\sqrt{7} = 7+1+2\sqrt{7 \cdot 1} = (\sqrt{7})^2+(\sqrt{1})^2+2\sqrt{7}\sqrt{1} = (\sqrt{7}+1)^2$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = |\sqrt{7}+1|$.
Поскольку выражение $\sqrt{7}+1$ положительно, модуль можно опустить.
$\sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = \sqrt{7}+1$.
Ответ: $\sqrt{7}+1$.
2) $\sqrt{15+6\sqrt{6}}$
Для использования формулы $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$ нам необходимо, чтобы перед внутренним корнем стоял коэффициент 2. Преобразуем слагаемое $6\sqrt{6}$:
$6\sqrt{6} = 2 \cdot 3\sqrt{6}$.
Теперь внесем множитель 3 под знак корня:
$2 \cdot 3\sqrt{6} = 2\sqrt{3^2 \cdot 6} = 2\sqrt{9 \cdot 6} = 2\sqrt{54}$.
Исходное выражение принимает вид: $\sqrt{15+2\sqrt{54}}$.
Теперь ищем такие числа $a$ и $b$, что их сумма равна 15, а произведение равно 54:
$\begin{cases} a+b=15 \\ ab=54 \end{cases}$
Рассмотрим пары множителей числа 54: (1, 54), (2, 27), (3, 18), (6, 9). Сумма последней пары как раз равна 15. Значит, нам подходят числа $a=9$ и $b=6$.
Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:
$15+2\sqrt{54} = 9+6+2\sqrt{9 \cdot 6} = (\sqrt{9})^2+(\sqrt{6})^2+2\sqrt{9}\sqrt{6} = (3+\sqrt{6})^2$.
Извлекаем квадратный корень:
$\sqrt{15+6\sqrt{6}} = \sqrt{(3+\sqrt{6})^2} = |3+\sqrt{6}|$.
Поскольку $3+\sqrt{6}$ — положительное число, модуль можно опустить.
$\sqrt{(3+\sqrt{6})^2} = 3+\sqrt{6}$.
Ответ: $3+\sqrt{6}$.
3) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$
Выражение уже представлено в удобном для нас виде $\sqrt{A+2\sqrt{B}}$. Применим формулу $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$.
Найдем два числа $a$ и $b$, удовлетворяющие системе уравнений:
$\begin{cases} a+b=7 \\ ab=10 \end{cases}$
Методом подбора находим, что $a=5$ и $b=2$, так как $5+2=7$ и $5 \cdot 2=10$.
Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:
$7+2\sqrt{10} = 5+2+2\sqrt{5 \cdot 2} = (\sqrt{5})^2+(\sqrt{2})^2+2\sqrt{5}\sqrt{2} = (\sqrt{5}+\sqrt{2})^2$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = |\sqrt{5}+\sqrt{2}|$.
Так как $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ является положительным числом, модуль можно опустить.
$\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{5}+\sqrt{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 570 расположенного на странице 143 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №570 (с. 143), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.