Номер 570, страница 143 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 570, страница 143.

Условие.

570. Упростите выражение:

1) $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$;

2) $\sqrt{15+6\sqrt{6}}$;

3) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой выделения полного квадрата под корнем, которая основывается на формуле квадрата суммы: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$.

Сравним наше выражение $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$ с общей формулой $\sqrt{A+2\sqrt{B}} = \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}$. Мы видим, что $A=a+b=8$ и $B=ab=7$.

Нам необходимо найти два числа $a$ и $b$, которые удовлетворяют системе уравнений:

$\begin{cases} a+b=8 \\ ab=7 \end{cases}$

Путем подбора легко находим, что $a=7$ и $b=1$. Проверим: $7+1=8$ и $7 \cdot 1=7$.

Следовательно, подкоренное выражение можно представить в виде полного квадрата:

$8+2\sqrt{7} = 7+1+2\sqrt{7 \cdot 1} = (\sqrt{7})^2+(\sqrt{1})^2+2\sqrt{7}\sqrt{1} = (\sqrt{7}+1)^2$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = |\sqrt{7}+1|$.

Поскольку выражение $\sqrt{7}+1$ положительно, модуль можно опустить.

$\sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = \sqrt{7}+1$.

Ответ: $\sqrt{7}+1$.

2) $\sqrt{15+6\sqrt{6}}$

Для использования формулы $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$ нам необходимо, чтобы перед внутренним корнем стоял коэффициент 2. Преобразуем слагаемое $6\sqrt{6}$:

$6\sqrt{6} = 2 \cdot 3\sqrt{6}$.

Теперь внесем множитель 3 под знак корня:

$2 \cdot 3\sqrt{6} = 2\sqrt{3^2 \cdot 6} = 2\sqrt{9 \cdot 6} = 2\sqrt{54}$.

Исходное выражение принимает вид: $\sqrt{15+2\sqrt{54}}$.

Теперь ищем такие числа $a$ и $b$, что их сумма равна 15, а произведение равно 54:

$\begin{cases} a+b=15 \\ ab=54 \end{cases}$

Рассмотрим пары множителей числа 54: (1, 54), (2, 27), (3, 18), (6, 9). Сумма последней пары как раз равна 15. Значит, нам подходят числа $a=9$ и $b=6$.

Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:

$15+2\sqrt{54} = 9+6+2\sqrt{9 \cdot 6} = (\sqrt{9})^2+(\sqrt{6})^2+2\sqrt{9}\sqrt{6} = (3+\sqrt{6})^2$.

Извлекаем квадратный корень:

$\sqrt{15+6\sqrt{6}} = \sqrt{(3+\sqrt{6})^2} = |3+\sqrt{6}|$.

Поскольку $3+\sqrt{6}$ — положительное число, модуль можно опустить.

$\sqrt{(3+\sqrt{6})^2} = 3+\sqrt{6}$.

Ответ: $3+\sqrt{6}$.

3) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

Выражение уже представлено в удобном для нас виде $\sqrt{A+2\sqrt{B}}$. Применим формулу $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$.

Найдем два числа $a$ и $b$, удовлетворяющие системе уравнений:

$\begin{cases} a+b=7 \\ ab=10 \end{cases}$

Методом подбора находим, что $a=5$ и $b=2$, так как $5+2=7$ и $5 \cdot 2=10$.

Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата:

$7+2\sqrt{10} = 5+2+2\sqrt{5 \cdot 2} = (\sqrt{5})^2+(\sqrt{2})^2+2\sqrt{5}\sqrt{2} = (\sqrt{5}+\sqrt{2})^2$.

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = |\sqrt{5}+\sqrt{2}|$.

Так как $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ является положительным числом, модуль можно опустить.

$\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{5}+\sqrt{2}$.