Номер 566, страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 566, страница 142.

Условие.

566. Внесите множитель под знак корня:

1) $m\sqrt{7}$, если $m \ge 0$;

2) $3n\sqrt{6}$, если $n \le 0$;

3) $p\sqrt{p^3}$;

4) $x^4y\sqrt{x^5y}$, если $y \le 0$;

5) $7a\sqrt{\frac{3}{a}}$;

6) $5ab\sqrt{-\frac{a^7}{5b}}$, если $a \le 0, b > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Внести множитель $m$ под знак корня в выражении $m\sqrt{7}$, если $m \ge 0$.

Поскольку по условию $m \ge 0$, мы можем внести множитель $m$ под знак корня, возведя его в квадрат. Для неотрицательного множителя $c$ и неотрицательного подкоренного выражения $d$ справедливо равенство $c\sqrt{d} = \sqrt{c^2d}$.

В данном случае $c=m$ и $d=7$.

$m\sqrt{7} = \sqrt{m^2 \cdot 7} = \sqrt{7m^2}$

Ответ: $\sqrt{7m^2}$

2) Внести множитель $3n$ под знак корня в выражении $3n\sqrt{6}$, если $n \le 0$.

Множитель перед корнем равен $3n$. По условию $n \le 0$. Так как $3 > 0$, то произведение $3n \le 0$.

Для отрицательного или равного нулю множителя $c$ правило внесения под знак корня выглядит так: $c\sqrt{d} = -\sqrt{c^2 d}$.

Применяем это правило для $c = 3n$ и $d = 6$:

$3n\sqrt{6} = -\sqrt{(3n)^2 \cdot 6} = -\sqrt{9n^2 \cdot 6} = -\sqrt{54n^2}$

Ответ: $-\sqrt{54n^2}$

3) Внести множитель $p$ под знак корня в выражении $p\sqrt{p^3}$.

Выражение $\sqrt{p^3}$ имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $p^3 \ge 0$. Это условие выполняется при $p \ge 0$.

Поскольку $p \ge 0$, множитель $p$ является неотрицательным. Мы можем внести его под знак корня, возведя в квадрат:

$p\sqrt{p^3} = \sqrt{p^2 \cdot p^3} = \sqrt{p^{2+3}} = \sqrt{p^5}$

Ответ: $\sqrt{p^5}$

4) Внести множитель $x^4y$ под знак корня в выражении $x^4y\sqrt{x^5y}$, если $y \le 0$.

Множитель перед корнем равен $x^4y$. Так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, а по условию $y \le 0$, то их произведение $x^4y \le 0$ (является неположительным).

Подкоренное выражение $x^5y$ должно быть неотрицательным: $x^5y \ge 0$. Учитывая, что $y \le 0$, это неравенство выполняется, только если $x^5 \le 0$ (или если $y=0$), что означает $x \le 0$.

Так как множитель $x^4y$ неположительный, применяем правило $c\sqrt{d} = -\sqrt{c^2 d}$:

$x^4y\sqrt{x^5y} = -\sqrt{(x^4y)^2 \cdot x^5y} = -\sqrt{(x^8y^2) \cdot x^5y} = -\sqrt{x^{8+5}y^{2+1}} = -\sqrt{x^{13}y^3}$

Ответ: $-\sqrt{x^{13}y^3}$

5) Внести множитель $7a$ под знак корня в выражении $7a\sqrt{\frac{3}{a}}$.

Подкоренное выражение $\frac{3}{a}$ должно быть определено и неотрицательно. Это означает, что знаменатель $a$ должен быть строго больше нуля: $a > 0$.

При условии $a > 0$, множитель $7a$ также будет положительным: $7a > 0$.

Вносим положительный множитель под знак корня, возводя его в квадрат:

$7a\sqrt{\frac{3}{a}} = \sqrt{(7a)^2 \cdot \frac{3}{a}} = \sqrt{49a^2 \cdot \frac{3}{a}} = \sqrt{\frac{49a^2 \cdot 3}{a}} = \sqrt{49a \cdot 3} = \sqrt{147a}$

Ответ: $\sqrt{147a}$

6) Внести множитель $5ab$ под знак корня в выражении $5ab\sqrt{-\frac{a^7}{5b}}$, если $a < 0, b > 0$.

Определим знак множителя $5ab$. По условию $a < 0$ и $b > 0$. Тогда произведение $5ab = 5 \cdot (\text{отрицательное}) \cdot (\text{положительное})$ является отрицательным числом, то есть $5ab < 0$.

Проверим, что подкоренное выражение $-\frac{a^7}{5b}$ неотрицательно. Так как $a < 0$, то $a^7 < 0$ (нечетная степень отрицательного числа), и соответственно $-a^7 > 0$. Знаменатель $5b > 0$, так как $b > 0$. Следовательно, вся дробь $-\frac{a^7}{5b} > 0$. Выражение имеет смысл.

Так как множитель $5ab$ отрицательный, вносим его под корень по правилу $c\sqrt{d} = -\sqrt{c^2d}$:

$5ab\sqrt{-\frac{a^7}{5b}} = -\sqrt{(5ab)^2 \cdot \left(-\frac{a^7}{5b}\right)} = -\sqrt{25a^2b^2 \cdot \left(-\frac{a^7}{5b}\right)}$

Упростим выражение под корнем:

$-\sqrt{-\frac{25a^2b^2a^7}{5b}} = -\sqrt{-5a^{2+7}b^{2-1}} = -\sqrt{-5a^9b}$

Ответ: $-\sqrt{-5a^9b}$