Номер 568, страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 568, страница 142.

Условие.

568. Упростите выражение:

1) $ \left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}} - \frac{1}{a-b} \cdot \frac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right) : \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}}; $

2) $ \left(\sqrt{a}+\sqrt{b} - \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right) : \left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\right). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)
Исходное выражение: $ \left( \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}} - \frac{1}{a-b} \cdot \frac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \right) : \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}} $

Решение будем выполнять по действиям.

1. Упростим первый член в скобках, разложив знаменатель на множители:
$ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{a}+\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $

2. Упростим второй член в скобках. Используем формулу разности квадратов $ a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $ и тождество $ (\sqrt{b}-\sqrt{a})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 $:
$ \frac{1}{a-b} \cdot \frac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{1}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} \cdot \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $
Сократим дробь на $ (\sqrt{a}-\sqrt{b}) $:
$ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} $

3. Выполним вычитание в скобках:
$ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} - \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ \sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 $:
$ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} - \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \frac{(a-b) - (a-\sqrt{ab})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \frac{a-b-a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \frac{\sqrt{ab}-b}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} $
Вынесем $ \sqrt{b} $ в числителе:
$ \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} $

4. Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Делитель мы уже упростили в первом шаге.
$ \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} : \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} \cdot \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} $
Сокращаем общие множители $ \sqrt{a} $, $ (\sqrt{a}-\sqrt{b}) $ и $ (\sqrt{a}+\sqrt{b}) $:
$ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $

2)
Исходное выражение: $ \left( \sqrt{a}+\sqrt{b} - \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \right) : \left( \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \right) $

Решение будем выполнять по действиям.

1. Упростим выражение в первых скобках, приведя его к общему знаменателю $ \sqrt{a}+\sqrt{b} $:
$ \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $
Раскроем квадрат суммы в числителе:
$ \frac{a+2\sqrt{ab}+b-2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $

2. Упростим выражение во вторых скобках, приведя его к общему знаменателю $ \sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $:
$ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} + \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) + \sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{a-\sqrt{ab}+\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{a+b}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $

3. Выполним деление результатов, полученных в пунктах 1 и 2:
$ \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} : \frac{a+b}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} $
Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a+b} $
Сократим общие множители $ (a+b) $ и $ (\sqrt{a}+\sqrt{b}) $:
$ \sqrt{a} $

Ответ: $ \sqrt{a} $