Номер 563, страница 142 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 563, страница 142.

Условие.

563. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{-m^9}$;

2) $\sqrt{a^4b^{13}}$, если $a \ne 0$;

3) $\sqrt{4x^6y}$, если $x < 0$;

4) $\sqrt{m^7n^7}$, если $m \le 0, n \le 0$;

5) $\sqrt{45x^3y^{14}}$, если $y < 0$;

6) $\sqrt{64a^2b^9}$, если $a > 0$;

7) $\sqrt{242m^{11}b^{18}}$, если $b < 0$;

8) $\sqrt{-m^2n^2p^{15}}$, если $m > 0, n < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы корень $\sqrt{-m^9}$ был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-m^9 \ge 0$, откуда $m^9 \le 0$ и, следовательно, $m \le 0$. Представим подкоренное выражение в виде $\sqrt{m^8 \cdot (-m)}$. Так как при $m \le 0$ выражение $-m \ge 0$, можно вынести множитель: $\sqrt{(m^4)^2 \cdot (-m)} = |m^4|\sqrt{-m}$. Поскольку $m^4$ всегда неотрицательно ($m^4 \ge 0$), то $|m^4| = m^4$. В итоге получаем $m^4\sqrt{-m}$.
Ответ: $m^4\sqrt{-m}$

2) Для того чтобы выражение $\sqrt{a^4b^{13}}$ было определено, необходимо, чтобы $a^4b^{13} \ge 0$. Так как $a^4 \ge 0$ для любого $a$ (и $a^4 > 0$ при $a \neq 0$), то должно выполняться условие $b^{13} \ge 0$, что означает $b \ge 0$. Преобразуем выражение: $\sqrt{a^4b^{13}} = \sqrt{a^4 \cdot b^{12} \cdot b} = \sqrt{(a^2)^2 \cdot (b^6)^2 \cdot b} = |a^2||b^6|\sqrt{b}$. Поскольку $a^2 \ge 0$ и $b^6 \ge 0$ (так как $b \ge 0$), то $|a^2| = a^2$ и $|b^6| = b^6$. Получаем $a^2b^6\sqrt{b}$.
Ответ: $a^2b^6\sqrt{b}$

3) Для того чтобы выражение $\sqrt{4x^6y}$ было определено, необходимо, чтобы $4x^6y \ge 0$. Поскольку $4 > 0$ и $x^6 \ge 0$ (и $x^6 > 0$ при $x < 0$), то должно выполняться условие $y \ge 0$. Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{4x^6y} = \sqrt{2^2 \cdot (x^3)^2 \cdot y} = |2| \cdot |x^3| \cdot \sqrt{y} = 2|x^3|\sqrt{y}$. По условию $x < 0$, следовательно, $x^3 < 0$, и поэтому $|x^3| = -x^3$. Подставив, получим $2(-x^3)\sqrt{y} = -2x^3\sqrt{y}$.
Ответ: $-2x^3\sqrt{y}$

4) Для того чтобы выражение $\sqrt{m^7n^7}$ было определено, необходимо, чтобы $m^7n^7 \ge 0$, или $(mn)^7 \ge 0$, что равносильно $mn \ge 0$. По условию $m \le 0$ и $n \le 0$, их произведение $mn \ge 0$, так что условие выполняется. Преобразуем выражение: $\sqrt{m^7n^7} = \sqrt{m^6n^6 \cdot mn} = \sqrt{(m^3n^3)^2 \cdot mn} = |m^3n^3|\sqrt{mn}$. Так как $m \le 0$ и $n \le 0$, то $m^3 \le 0$ и $n^3 \le 0$. Их произведение $m^3n^3 \ge 0$, поэтому $|m^3n^3| = m^3n^3$. В итоге получаем $m^3n^3\sqrt{mn}$.
Ответ: $m^3n^3\sqrt{mn}$

5) Для того чтобы выражение $\sqrt{45x^3y^{14}}$ было определено, необходимо, чтобы $45x^3y^{14} \ge 0$. По условию $y < 0$, поэтому $y^{14} > 0$. Следовательно, должно выполняться $x^3 \ge 0$, что означает $x \ge 0$. Преобразуем выражение: $\sqrt{45x^3y^{14}} = \sqrt{9 \cdot 5 \cdot x^2 \cdot x \cdot y^{14}} = \sqrt{3^2 \cdot x^2 \cdot (y^7)^2 \cdot 5x} = |3||x||y^7|\sqrt{5x} = 3|x||y^7|\sqrt{5x}$. Так как $x \ge 0$, то $|x| = x$. Так как $y < 0$, то $y^7 < 0$ и $|y^7| = -y^7$. Подставляя, получаем $3x(-y^7)\sqrt{5x} = -3xy^7\sqrt{5x}$.
Ответ: $-3xy^7\sqrt{5x}$

6) Для того чтобы выражение $\sqrt{64a^2b^9}$ было определено, необходимо, чтобы $64a^2b^9 \ge 0$. По условию $a > 0$, поэтому $a^2 > 0$. Следовательно, должно выполняться $b^9 \ge 0$, что означает $b \ge 0$. Преобразуем выражение: $\sqrt{64a^2b^9} = \sqrt{8^2 \cdot a^2 \cdot b^8 \cdot b} = \sqrt{8^2 \cdot a^2 \cdot (b^4)^2 \cdot b} = |8||a||b^4|\sqrt{b} = 8|a|b^4\sqrt{b}$. Так как $a > 0$, то $|a|=a$. Получаем $8ab^4\sqrt{b}$.
Ответ: $8ab^4\sqrt{b}$

7) Для того чтобы выражение $\sqrt{242m^{11}b^{18}}$ было определено, необходимо, чтобы $242m^{11}b^{18} \ge 0$. По условию $b < 0$, поэтому $b^{18} > 0$. Следовательно, должно выполняться $m^{11} \ge 0$, что означает $m \ge 0$. Преобразуем выражение: $\sqrt{242m^{11}b^{18}} = \sqrt{121 \cdot 2 \cdot m^{10} \cdot m \cdot b^{18}} = \sqrt{11^2 \cdot (m^5)^2 \cdot (b^9)^2 \cdot 2m} = |11||m^5||b^9|\sqrt{2m} = 11|m^5||b^9|\sqrt{2m}$. Так как $m \ge 0$, то $m^5 \ge 0$ и $|m^5|=m^5$. Так как $b < 0$, то $b^9 < 0$ и $|b^9| = -b^9$. Подставляя, получаем $11m^5(-b^9)\sqrt{2m} = -11m^5b^9\sqrt{2m}$.
Ответ: $-11m^5b^9\sqrt{2m}$

8) Для того чтобы выражение $\sqrt{-m^2n^2p^{15}}$ было определено, необходимо, чтобы $-m^2n^2p^{15} \ge 0$. По условию $m > 0$ и $n < 0$, поэтому $m^2 > 0$ и $n^2 > 0$. Следовательно, должно выполняться $-p^{15} \ge 0$, что означает $p^{15} \le 0$, и, следовательно, $p \le 0$. Преобразуем выражение: $\sqrt{-m^2n^2p^{15}} = \sqrt{m^2n^2p^{14} \cdot (-p)} = \sqrt{m^2 \cdot n^2 \cdot (p^7)^2 \cdot (-p)} = |m||n||p^7|\sqrt{-p}$. По условиям: $m > 0 \implies |m|=m$; $n < 0 \implies |n|=-n$; $p \le 0 \implies p^7 \le 0 \implies |p^7| = -p^7$. Подставляя, получаем $m(-n)(-p^7)\sqrt{-p} = mnp^7\sqrt{-p}$.
Ответ: $mnp^7\sqrt{-p}$