Номер 556, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 556, страница 140.

Условие.

556. Сократите дробь:

1) $ \frac{a-b}{\sqrt{11b}-\sqrt{11a}} $;

2) $ \frac{2a + 10\sqrt{2ab} + 25b}{6a - 75b} $, если $a > 0, b > 0;$

3) $ \frac{a - 2\sqrt{a} + 4}{a\sqrt{a} + 8} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{a - b}{\sqrt{11b} - \sqrt{11a}}$, преобразуем её числитель и знаменатель.
Сначала вынесем общий множитель в знаменателе:
$\sqrt{11b} - \sqrt{11a} = \sqrt{11}(\sqrt{b} - \sqrt{a})$.
Далее преобразуем числитель, представив его как разность квадратов. Для этого вынесем знак минус за скобки:
$a - b = -(b - a)$.
Поскольку $b = (\sqrt{b})^2$ и $a = (\sqrt{a})^2$, то $b-a$ можно разложить по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$b - a = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2 = (\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})$.
Следовательно, числитель равен $a - b = -(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})$.
Теперь подставим преобразованные выражения в исходную дробь:
$\frac{-(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})}{\sqrt{11}(\sqrt{b} - \sqrt{a})}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{b} - \sqrt{a})$:
$-\frac{\sqrt{b} + \sqrt{a}}{\sqrt{11}}$ или $-\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{11}}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{11}}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{2a + 10\sqrt{2ab} + 25b}{6a - 75b}$ при $a > 0, b > 0$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $2a + 10\sqrt{2ab} + 25b$ представляет собой полный квадрат суммы. Заметим, что $2a = (\sqrt{2a})^2$, $25b = (5\sqrt{b})^2$, а средний член $10\sqrt{2ab} = 2 \cdot \sqrt{2a} \cdot 5\sqrt{b}$.
Таким образом, по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, получаем:
$2a + 10\sqrt{2ab} + 25b = (\sqrt{2a} + 5\sqrt{b})^2$.
Знаменатель $6a - 75b$ можно преобразовать, вынеся за скобки общий множитель 3:
$6a - 75b = 3(2a - 25b)$.
Выражение в скобках $2a - 25b$ является разностью квадратов, так как $2a=(\sqrt{2a})^2$ и $25b=(5\sqrt{b})^2$:
$2a - 25b = (\sqrt{2a} - 5\sqrt{b})(\sqrt{2a} + 5\sqrt{b})$.
Значит, знаменатель равен $3(\sqrt{2a} - 5\sqrt{b})(\sqrt{2a} + 5\sqrt{b})$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(\sqrt{2a} + 5\sqrt{b})^2}{3(\sqrt{2a} - 5\sqrt{b})(\sqrt{2a} + 5\sqrt{b})}$.
Сократим на общий множитель $(\sqrt{2a} + 5\sqrt{b})$:
$\frac{\sqrt{2a} + 5\sqrt{b}}{3(\sqrt{2a} - 5\sqrt{b})}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2a} + 5\sqrt{b}}{3(\sqrt{2a} - 5\sqrt{b})}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{a - 2\sqrt{a} + 4}{a\sqrt{a} + 8}$, воспользуемся формулой суммы кубов.
Знаменатель $a\sqrt{a} + 8$ можно представить как $(\sqrt{a})^3 + 2^3$.
Применим формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, где $x=\sqrt{a}$ и $y=2$:
$a\sqrt{a} + 8 = (\sqrt{a})^3 + 2^3 = (\sqrt{a} + 2)((\sqrt{a})^2 - \sqrt{a} \cdot 2 + 2^2) = (\sqrt{a} + 2)(a - 2\sqrt{a} + 4)$.
Теперь подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:
$\frac{a - 2\sqrt{a} + 4}{(\sqrt{a} + 2)(a - 2\sqrt{a} + 4)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a - 2\sqrt{a} + 4)$:
$\frac{1}{\sqrt{a} + 2}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a} + 2}$.