Номер 549, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 549, страница 140.

Условие.

549. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{18x^{12}}$

2) $\sqrt{y^9}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{18x^{12}}$, необходимо разложить подкоренное выражение на множители, из которых можно извлечь квадратный корень.

Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (при $a \ge 0, b \ge 0$).

$\sqrt{18x^{12}} = \sqrt{18} \cdot \sqrt{x^{12}}$

Сначала упростим $\sqrt{18}$. Для этого разложим число 18 на множители так, чтобы один из них был полным квадратом. Наибольший делитель числа 18, являющийся полным квадратом, это 9.

$18 = 9 \cdot 2$

Следовательно, $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Теперь упростим $\sqrt{x^{12}}$. Используем свойство корня $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.

$x^{12}$ можно представить как $(x^6)^2$.

$\sqrt{x^{12}} = \sqrt{(x^6)^2} = |x^6|$.

Поскольку показатель степени 6 является четным числом, выражение $x^6$ всегда неотрицательно (то есть $x^6 \ge 0$) для любого действительного значения $x$. Поэтому модуль можно опустить: $|x^6| = x^6$.

Теперь объединим полученные результаты:

$\sqrt{18x^{12}} = 3\sqrt{2} \cdot x^6 = 3x^6\sqrt{2}$.

Ответ: $3x^6\sqrt{2}$

2)

Рассмотрим выражение $\sqrt{y^9}$.

Квадратный корень в области действительных чисел определен только для неотрицательных чисел. Поэтому подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: $y^9 \ge 0$, что выполняется только при $y \ge 0$.

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, представим степень $y^9$ в виде произведения степеней, где одна из них имеет наибольший возможный четный показатель.

$y^9 = y^{8+1} = y^8 \cdot y^1 = y^8 \cdot y$

Теперь подставим это представление в исходное выражение:

$\sqrt{y^9} = \sqrt{y^8 \cdot y}$

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{y^8 \cdot y} = \sqrt{y^8} \cdot \sqrt{y}$

Упростим множитель $\sqrt{y^8}$:

$\sqrt{y^8} = \sqrt{(y^4)^2} = |y^4|$

Так как показатель степени 4 является четным, выражение $y^4$ всегда неотрицательно ($y^4 \ge 0$). Следовательно, $|y^4| = y^4$.

Объединим результаты:

$\sqrt{y^9} = y^4\sqrt{y}$.

Ответ: $y^4\sqrt{y}$