Номер 548, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни. Упражнения - номер 548, страница 139.

Условие.

548. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{3a^2}$, если $a \ge 0$;

2) $\sqrt{5b^2}$, если $b \le 0$;

3) $\sqrt{12a^4}$;

4) $\sqrt{c^5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{3a^2}$, воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (для $x \ge 0, y \ge 0$) и определением квадратного корня из квадрата $\sqrt{k^2}=|k|$.

$\sqrt{3a^2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{a^2} = \sqrt{3} \cdot |a|$.

По условию задачи дано, что $a \ge 0$. Для любого неотрицательного числа его модуль равен самому числу, то есть $|a| = a$.

Следовательно, выражение принимает вид: $\sqrt{3} \cdot a = a\sqrt{3}$.

Ответ: $a\sqrt{3}$.

2) Для выражения $\sqrt{5b^2}$ применяем тот же подход.

$\sqrt{5b^2} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{b^2} = \sqrt{5} \cdot |b|$.

По условию $b \le 0$. Модуль неположительного числа равен противоположному ему числу. Таким образом, если $b \le 0$, то $|b| = -b$.

Например, если $b = -2$, то $|-2| = 2$ и $-b = -(-2) = 2$.

Подставляем это в наше выражение: $\sqrt{5} \cdot (-b) = -b\sqrt{5}$.

Ответ: $-b\sqrt{5}$.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt{12a^4}$. Разложим подкоренное выражение на множители, выделив те, из которых можно извлечь квадратный корень.

Число 12 можно представить как произведение $4 \cdot 3$, где 4 является полным квадратом.

Степень $a^4$ можно представить как $(a^2)^2$.

Подставляем разложенные множители обратно под корень:

$\sqrt{12a^4} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot (a^2)^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{3}$.

Извлекаем корни:

$\sqrt{4} = 2$.

$\sqrt{(a^2)^2} = |a^2|$. Так как квадрат любого действительного числа $a$ всегда неотрицателен ($a^2 \ge 0$), то $|a^2| = a^2$.

Собираем полученные множители: $2 \cdot a^2 \cdot \sqrt{3} = 2a^2\sqrt{3}$.

Ответ: $2a^2\sqrt{3}$.

4) В выражении $\sqrt{c^5}$ необходимо вынести множитель из-под знака корня. Для этого представим $c^5$ в виде произведения множителей, один из которых имеет наибольшую возможную четную степень.

Степень 5 нечетная, поэтому запишем $c^5$ как $c^4 \cdot c$. Выражение $c^4$ является полным квадратом, так как $c^4 = (c^2)^2$.

$\sqrt{c^5} = \sqrt{c^4 \cdot c}$.

Следует отметить, что для существования квадратного корня в области действительных чисел подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $c^5 \ge 0$, что выполняется при $c \ge 0$.

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{c^4 \cdot c} = \sqrt{c^4} \cdot \sqrt{c}$.

Извлекаем корень из $c^4$: $\sqrt{c^4} = \sqrt{(c^2)^2} = c^2$ (так как $c^2 \ge 0$).

Таким образом, окончательный результат: $c^2\sqrt{c}$.

Ответ: $c^2\sqrt{c}$.